在体积计算方面，埃及人得出上、下底部是正方形的棱台体积公式V=h3（a2+ab+b2），这完全是个精确公式！除了出色地解答难题外，埃及人还能找到近似的解法。与古埃及同时代的巴比伦也在几何学上有不少发现，这里就不多介绍了。
古代埃及的几何学只是一些经验公式，几乎没有正式的记号，没有有意识的抽象思维，没有得出一般的方法论，没有证明甚至没有直观推理的想法，以证明他们所做的运算步骤或所用公式是正确的。总之，在古埃及、巴比伦两个文明古国，数学并没有成为一门独立的学科，几何学是从古希腊人那儿形成的一门学科。
《几何原本》
古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识。欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
2000多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。
全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”，即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。
他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。
这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学中，也把它应用于科学，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响。尽管欧几里得的几何学在差不多2000年间，被奉为严格思维的几乎无懈可击的范例，但实际上它并非总是正确的。人们发现，一些欧几里得作为不证自明的公理，却难以自明，越来越遭到怀疑。比如“第五平行公理”，欧几里得在《几何原本》一书中断言：“通过已知外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证，那么在无处不在的球面之中（地球就是个大曲面）这个平行公理却是不成立的。罗伯切夫斯基和黎曼由此创立了球面几何学，即欧几里得几何学。
但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。
蝴蝶定理
1815年，西欧《男士日记》杂志上刊出一份难题征解，题目如下：
过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD、EF，连接ED、CF分别交AB于P、Q两点，求证PM=QM。
由于图形酷似一只蝴蝶，该命题取名为“蝴蝶定理”。一直过了4年无人作答。1819年7月，一位自学成才的中学数学教师霍纳给出第一个证明，但其证明方法繁琐难懂。从1819年开始，人们努力寻求简洁易懂的新证明，直到1973年，中学教师斯特温给出了第一个十分初等、十分通俗的简捷证法，之后，又不断有新的证法发表。
下面介绍斯特温的证明。
令MQ=x，MP=y，AM=BM=a，∠E=∠C=a，∠D=∠E=β，∠CMQ=∠DMP=γ，∠FMQ=∠EMP=δ。
用△1、△2、△3、△4分别代表△EPM、△CQM、△DPM、△FQM的面积，则△1△2·△2△3·△3△4·△4△1=EP·MEsinaCM·CQsina·MC·MQsinγPM·DMsinγ·PD·DMsinβFM·QFsinβ·FM·QMsinδEM·PMsinδ=EP·PD·MQ2CQ·FQ·MP2=1
由相交弦定理
EP·DP=AP·BP=（a-y）（a+y）=a2-y2
CQ·FQ=BQ·QA=（a-x）（a+x）=a2-x2
由于EP·PD·MQ2=CQ·FQ·MP2，得
（a2-y2）x2=（a2-x2）y2
a2x2-x2y2=a2y2-x2y2，a2x2=a2y2
由于a、x、y皆正数，故得x=y，即MQ=MP，证毕。
斯特温的证明简捷漂亮之处在于：
①平面几何的综合证法（即“看图说话”的方法，用几何的定理公理来摆事实讲道理），不易下手，改用了代数的方法。
②欲证x=y，它们含有四个三角形，用面积公式△=12absinC把x与y引入等式之中。
③利用面积公式建立等式时，从一似乎“言无之物”的恒等式△1△2·△2△3·△3△4·△4△1=1入手，抄入面积公式时，同一个分数的分子分母中sin下的角取等角，以便把三解函数约掉，只剩线段比。
④用相交弦理把EP·PD与CQ·FQ化成x、y的表达式。
斯特温的证明通俗到初中的孩子们都能在5分钟内看懂的程度，对于这样一个困惑数学家很久的难题，该证明真是漂亮无比。
由于椭圆面是正圆柱面斜截面，圆柱的底是此椭圆面的投影，若此椭圆上有一弦A′B′，中点是M′，过M′引椭圆两弦C′D′，E′F′，连E′D′、C′F′，分别交A′B′于P′、Q′两点，则此带“′”的图形的投影如蝴蝶形，而且MP=MQ当且仅当M′P′=M′Q′，所以蝴蝶定理对椭圆也成立。
