把第二张纸条扭转180度与D点相接，B点与C点相接，粘成一个纸圈。现在又用毛笔来涂这个纸圈，你会发现，毛笔不用离开纸面就可以把它全部涂黑。这是怎么回事？原来这个纸圈只有一个面，真是不可思议！数学家称这个纸圈为“牟比乌斯带”，因为它是德国数学家牟比乌斯在1858年首次做出来的。请你再做一个牟比乌斯带，用剪刀沿虚线把它从中间剪开。你一定以为会得到两个纸圈吧。其实，大大出乎你的预料，你会得一个比原来长一倍窄一半，而且又是普通的有两面的纸圈了。
现在做最后一个最奇妙、也是最精彩的实验。把第四张纸条扭转360度，沿两条虚线把它剪开，剪出的不是三个分开的纸圈，而是三个一样大小，互相套在一起的纸圈！拓扑学就要研究这些纸圈，你说奇不奇？
我国数学的“世界之最”
我国不但是数学史最长的国家，而且在世界数学发展过程中占有重要的地位。我国在历史上的10项光辉成就，在世界数学史上享有崇高的荣誉，远远走在世界各国的前面。
位值制的最早使用，我国是十进制和二进制的故乡。甲骨文和金文就用十进制的记载，二进制则起源于《周易》中的八卦。
分数的最早使用，《九章算术》是世界上系统叙述分数的最早著作，比欧洲早约1400多年。
小数的最早使用，刘瑾在1300年左右于《律吕成书》中记录了世界上最早的小数表示法。
负数的最早使用，负数最早出现于我国《九章算术》和《方程》一章中。
勾股定理，国外也称毕达哥拉斯定理，但商高提出勾股定理比毕达哥拉斯早100多年。
圆周率的精确率，祖冲之使圆周率准确到小数点后7位，创立了当时世界最精确记录。
二项式系数法则的最早发现，早在11世纪，贾宪就已发现二项式系数的规律，并作出了一张图，称开方作法本源图。
最早的不定方程，真正最早提出不定方程的是我国的《九章算术》而不是丢番图。
增乘开方法，增乘开方术最早见于贾宪的著作，后经杨辉、秦九韶等人不断完善。
中国剩余定理，又称孙子定理，最早见于《孙子算经》一书中。
漫谈尺规作图三大难题
同学们一开始学习《平面几何学》，直尺和圆规就成了亲密伙伴，利用它们就可以作出各式各样的几何图形。
如果仅仅运用直尺和圆规，根据某些已知条件，求作一个几何图形，这就叫做尺规作图问题，也叫做几何作图问题。
几何作图问题，对发展学生的智力是有益的，在这一节里我们想通过古代尺规作图三大难题的故事，向读者介绍尺规作图的解决准则（或者称为判别法）。
古代尺规作图三大难题的故事
三等分角在上古时代，大约纪元前5世纪时，人们就提出，既然一个线段可以三等分，那么一个角能不能三等分呢？显然，所给的角要是90°，或者是180°，用尺规三等分是极为容易的。所谓三分角问题，就是说任意结定一个角，作图工具仅限于直尺和圆规，问能不能将这个角三等分。这是历史最为长久，流传最为广泛的一个几何作图问题。2000多年来，不断有人在这个题目上花费时间。如1936年8月18日《北京晨报》上曾经发表了一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了三分角问题，并把作法寄住各国，颇引起国内外人士的注意。可是不久，就有许多人陆续地指出他的作法是错误的。1966年以前，中国科学院数学研究所每年都接到不少“解决三分角问题”的来稿，可是每稿都有错误，后来只好在《数学通报》上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这个不可解的几何作图题。三等分任意一个角是不可解的。这一事实早在100多年前，人们就清楚了。
第二个作图难题是倍立方问题。就是要求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍。关于这个问题的提出，曾经有过这样一个有趣的传说：远在纪元前4世纪的古希腊，瘟疫流行，到处死人，无法解除。有人便请教当时唯心主义的哲学家柏拉图。他便许愿说：“将续利亚神庙的立方体祭坛扩大一倍来祈求神的宽赦，这样，把神的怒气平下去，瘟疫也就消灭了。”因此，人们就将祭坛的各棱延长一倍，重新建造了这个祭坛。结果瘟疫照常流行。当再次请教柏拉图时，柏拉图看了新建的祭坛后说：“所造的新祭坛比原来的祭坛扩大了八倍，而不是一倍，所以不能解除瘟疫的流行。”人们为了解除灾难，便千方百计地想办法，如何造出一个新的祭坛，使它的体积恰好是原来的祭坛的两倍，这样就轰动了当时希腊的数学界，所以倍立方向题又以“续利亚神问题”相传。
传说未见得是真，但数学问题却是千真万确的，显然，从代数的观点来看，若设原立方体祭坛的棱长为a，新立方体祭坛的棱长为x，则倍立方问题即可表示为代数方程：
x3＝2a3
不妨设a＝1，则问题变为三次方程式x3＝2的求解问题。显然，此方程的惟一正实根为x=32。因此，取定一个线段，把它看作“单位长”（即规定其长度为1），那么，只要我们能用直尺和圆规，作出一条线段之长为32，那就能作出一个两倍于单位立方体来。然而，这也是不可能的。
第三个尺规作图难题就是圆化方问题，即要求作一个正方形，使其面积等于一个已知圆的面积。设正方形的边长为x，圆的半径为r，则圆化方问题即可表示为代数方程：
x2＝πr2
不妨设r＝1，则圆化方问题变为x2＝π的方程是否有正实根的问题，也就是依靠直尺和圆规作出一条线段，使它的长度等于π。由此可见，圆化方的问题和π值的计算问题是紧密联系在一起的。圆化方的问题虽然在古希腊数学史上出现得最早，但是，却没有有意识地去寻求π值的计算，在我国古代，对于π值的研究和计算，却有着光荣而悠久的历史。伟大的数学家祖冲之对π值的研究和计算有很大的贡献，远在公元460年，他就求出π的值是：
3.1415926＜π＜3.1415927
当时祖冲之为了便于人们使用，还确定出用两个比较精密的分数227作为约率；355113作为密率。这是祖冲之继我国古代另一位数学家刘徽的割圆术之后，对π值的计算工作的重要发展。它成为古代数学史上光辉的一页。当然，现在有了电子计算机，要算出π值的上千万位那是轻而易举的事，可是在公元5世纪，计算工具非常落后的情况下，祖冲之能算出这样准确的结果，需要付出何等艰巨的劳动啊！德国数学家奥托于公元1573年才获得这个近似数值，比祖冲之晚了1100多年。也就是说外国人直到公元16世纪，在π值的计算上，才超过祖冲之的研究成果。由此可以看出祖冲之这一光辉成就的世界意义，也可以看到我们伟大祖国古代的数学已经发展到相当高的水平。
关于圆化方问题，早在公元前古埃及的数学家曾得到这样一个结论：“如果正方形的边长等于圆的直径的89时，则它们的面积相等。”当然，在今天看来这个结论是错误的，但在远古时代能得到这样的近似值，还是令人惊奇的。这就是圆化方问题最早的研究成果。据传说，埃及人是用经验的方法得到这个结果的，埃及人是在囤和边长等于圆的直径的正方形上铺上一层种子，再分别计算这两个图形上种子的粒数。知道正方形上种子的粒数开始时一定比圆上的多，然后逐步缩短正方形的边长，并且重复这样的试验，最后得出结论：只有当正方形边长等于圆的直径的89时，正方形上种子的粒数才等于圆上种子的粒数。即通过这样试验的方法得到当正方形的边长等于圆的直径的89时，该二图形的面积相等，当然，这只是个精确度很差的近似等式。
从上述三个尺规作图难题的故事中，我们看到人们为了寻找这三个问题的答案，走过了多么艰难曲折的路程。用的时间是1000多年，花费的精力之大也是无法统计的。从而，我们想到：能不能给出一个解析判别法，根据已知条件判别一下，能解还是不能解，一看就知道，免得我们再遇到此类问题时走弯路，当然这是不成问题的。
每一个平面几何作图题，都可以放到坐标平面上来考虑，这只要在平面上引进坐标系就可以了。
平面几何作图题总是要求人们去作出一些线段，或者去定出一些点的位置，因为点的位置都可用坐标来确定，所以归根结底，作图题无非是要求人们去作出具有某种长度的线段，当然，每两个坐标点联结起来也就确定一条线段。因此又可以说，几何作图归根结底无非是要求定出某些坐标点。
在平面几何作图题里，总可以把一条已知线段（或给定的某一线段）当做“单位长线段”，就是说，把已知线段作为长度是l的线段，于是利用尺规作图，很容易将该线段n等分，从而求得长为1n的线段，再相比线段m倍，又可得到长为mn的线段。总之，一切以有理数为长度的线段都可以作出来，往下我们把点的坐标或线段长度都简称为“几何量”。
设r为任一正有理数，则以平方根r为长度的线段也可以作出来，事实上，利用1+r为直径作半圆，从线段连接点p引垂线交圆周于Q，则PQ=r。由此看来，一切以正有理数的平方根为长度的线段都可用尺规作出来。
反复利用上述手续，可见以4r、8r、…为长度的线段也都可以作出来。一般说来，只要是有理数经过有限多次“加、减、乘（乘方）、除、开平方”五则运算得出的数量，都可以用尺规作出以这些数量为长度的线段来。因此，这些数量就可以叫做“可作图几何量”，例如下面的数量：
（7+23+5）×35
这就是一个“可作图几何量”，因为人们总可以用尺规作出以这个数量为长度的线段来。若a、b、c表示已知线段，K表示自然数，下面一些简单式子所表示的部是“可作图几何量”：
（1）a＋b；（2）a－b（a＞b）；（3）Ka；（4）aK；（5）abc；（6）ab；
（7）a2+b2；（8）a2-b2（a＞b）
这些式子所表示的几何作图题，都是大家熟知的平面几何中的作图题。（1）、（2）是作两线段的和与差；（3）、（4）是作两线段的倍数和分量；（5）是作已知三线段的第四比例项；（6）是作两已知线段的比例个项；（7）是作直角三角形的斜边；（8）是作直角三角形的直角边。
柏拉图限制作图工具的意义
古代尺规作图三大难题所以难，就难在作图工具只能用直尺和圆规。如果作图工具不加限制，那么这三个问题都很容易解决。我们以最困难的圆化方问题为例，如图，设已知圆的半径为r，则它的面积为πr2。我们用泥土作一个正圆柱，使其下底与已知圆等积，高为r2，然后，让这个圆柱在平面上滚一周，在平面上就该出一个矩形。它的长为2πr，宽为r2，因为r2·2πr＝πr2，所以，这个矩形的面积与圆的面积是相等的，从而，问题就变为求作一个正方形与此矩形具有相等的面积。这显然是容易办到的。
现在我们认为，这种限制没有必要了，作图时可以使用任何工具，只要作法正确就行，然而，如果古代希腊数学家柏拉图及其学派，不做这样限制，那么关于这三个难题的许许多多的讨论和研究也就不会发生，因而也许就不会导致数学里许许多多新的方法、新的领域的建立。可以这样说，希腊几何学家所发明的新定理和方法，差不多都是因为要解决这三个问题而引出来的。柏拉图及其学派作这种限制的历史意义，也就在于此了。
从笛卡儿创建《解析几何学》开始，到尺规作图解析判别法的获得，我们还可以看到：一般数学方法的获得，远比解决一个具体问题重要得多，正是由于用代数方程来研究几何问题的新方法的出现，尺规作图解析判别法才能产生，这就说明，我们在研究数学问题时，不仅要一个问题一个问题地去探讨，更要注意学习和研究处理数学问题的新方法，这也是学好数学的一条重要途径。
