刘徽在注释《九章算术》时，研究球的体积公式，欲探明《九章算术》中的球体积公式：
V球=916D3（其中D为球的直径）中的9、16两个数的来源。经过比较，他发现上述公式是错误的。也就是说，球的体积不等于外切正方体体积（D3）的9／16。
他提出一个间接解决此问题的方法，从而引出了“牟合方盖”问题。
他的方法是：取每边为1寸（约3.3厘米）的正方体棋子8枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体横向、纵向各画内切圆柱体（直径和柱高都是2寸）。于是，两个圆柱面所包含的立体共同部分，是上下两个合起来的相等方盖，刘徽称它为“牟合方盖”。
刘徽经过研究，巧妙地确定：内切球体积是牟合方盖体积的四分之π，即
V球=π4·V牟合方盖。
这样一来，只需求出牟合方盖的体积，就可以导出球的体积了。但他没有找到计算牟合方盖体积的公式，刘徽坦率地说：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”寄希望于后世的聪明人。
刘徽之后200多年，南北朝时期的数学家祖暅（数学家祖冲之的儿子）解决了这一问题。祖暅是一个博学多才的人，他继承了祖冲之在数学和天文历法方面的工作，并进一步发扬光大了他父亲的成就。祖暅创立了巧妙的“开立圆术”，从而解决了牟合方盖的求积问题以及球体体积计算公式。
为了便于理解，我们用现代的术语，又将原来的图形略加修改，说明如下：
祖暅取刘徽的八个棋子之一来研究。牟合方盖体积的1／8，底面是边长为r的正方形，高DO也等于r；DRC、DPA都是半径为r的1／4圆周，我们把这个1／8牟合方盖的体积用V1表示。整个棋子，即它是边长为r的正方体。同一任意高度h处分别作与底面平行的平面，它与V1的截面是PQRS；与图114中正方体的截面为正方形P′TS′M。
由于平行于底的任意平面与立体图形的截面都是正方形。因此，截面PQRS是正方形，记它的边长为a，设OS=h，因为OP=r，所以截面积a2=r2-h2。
设这个边长为r的正方体体积为V2。连接0′A′、O′D′、O′C′，得到锥体O′A′B′C′D′，将这一锥体的体积记为V3。V2-V3是立方体减去锥体剩下的立体。
截面P′TS′M是正方形，因此，正方形P′TS′M的面积为r2；这个高度为h的平行于底的平面与V3的截面是正方形Q′TR′N，由于Q′T=O′T=h，因此，正方形Q′TR′N的面积为h2。
正方形P′TS′M的面积可以分为两部分，即正方形Q′TR′N和曲尺形P′Q′NR′S′M，因此，曲尺形P′Q′NR′S′M的面积等于正方形P′TS′M的面积减去正方形Q′TR′N的面积，也就是r2-h2）。
1／8牟合方盖的体积为V1，立体图形的体积为V2-V3。在同一任意高度处，两立体图形的截面积都是r2-h2，而且它们是等高的，因此两体积相同，即V1=V2-V3。
祖暅对这一过程的描述是：“幂势既同，则积不容异。”这一描述后来被称为“祖暅原理”。这里“幂”指截面积，“势”指立体的高。意思是：两同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细地说是：界于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积常相等，则这两个立体的体积相等。
由此可知：
V1=V2-V3=r3-13r3=23r3
这里，V1是1／8牟合方盖的体积；V2是立方体的体积；V3是锥体O′A′B′C′D′的体积。
于是牟合方盖整体的体积是：
V牟合方盖=8×23r3=163r3
根据刘徽关于球体积是牟合方盖体积的π4，最后便得到球体积为：
V球=π4·163r3=43πr3
或V球=16πD3（D表示球的直径）
祖暅在推导“牟合方盖”体积的过程中，提出的“幂势既同，则积不容异”这一原理的基本思想相当于积分学中的积分式：
设f（x）=g（x）（a≤x≤b），则
∫baf（x）dx=∫bag（x）dx
在西方与祖暅原理相似的原理被称为“卡瓦列里原理”。卡瓦列里是意大利数学家，他在1635年出版了他的数学名著《连续不可分几何》，“卡瓦列里原理”正是在这本著作中提出的。可见祖暅原理比卡氏原理早1000多年。
祖暅利用“牟合方盖”体积的计算，在刘徽研究的基础上，导出了球的体积计算公式。这种方法虽然比上面提到的用微积分方法推导体积公式复杂，但在1500年前就解决了球体积公式，不能不认为这是数学史上的一个巨大成就。
概率与π
1777年的一天，法国自然哲学家布丰先生请来了满堂的宾朋要给大家做个有趣的实验来解解闷。只见七十高龄的布丰先生兴致勃勃地拿出一张白纸，纸上面画满了一条条距离相等的并行线。然后他抓出一大把小针，对大家说：“请诸位把这针一根一根地往纸上随便扔吧，妙事自然会出现。”客人们不知道他葫芦里卖的什么药，好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。布丰在旁边不停地记着数。小针扔完了，收起来又扔。最后，布丰宣布结果：大家共投针2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率的近似值。”原来，这就是数学史上有名的“投针试验”。赌徒输赢的概率是古典概率的数学模型，这里讲的是几何概率的典型例子。一般来说，设并行线的距离为a，针长为l（l小于a），投掷次数为N，与直线相交次数为n，则圆周率π＝2lN/an。上面的实验中，布丰用的小针长恰为并行线间的距离的一半，所以公式可以简写为N/n。
后来不少人根据布丰创造的方法计值，其中，以1901年意大利人拉查里尼投针3408次，相交1808次，求得的6位准确小数3.1415929为最佳结果。
概率与性别
一般人或许认为，生男生女的可能性是相等的，各占50%。事实并非如此。法国著名数学家拉普拉斯在1814年出版的《概率的哲学探讨》一书中调查研究了生男生女的概率问题。他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎完全一致的男婴出生数与女婴出生数的比值：在10年间总是摆动在51.2∶48.8左右。这就是说，男婴出生数一般比女婴出生数略高。国内外大量的人口统计资料也表明男婴女婴出生比率是51.2∶48.8左右。
为什么男婴出生率要比女婴出生率会高一点呢？这是生理学上很有趣味的一个研究课题。生理学家认为，可能是男性含X染色体的精子（决定生女）与含Y染色体的精子（决定生男）有某种差别的缘故。从概率观点来看，因为含X染色体的精子与含Y染色体的精子进入卵子的机会不完全相等，所以造成男婴女婴出生率的不相等。而最先发现这个现象的不是生理学家，却是研究概率的数学家。
天元术——未知数的由来
“天元术”最早出现在金、元时期数学家李冶所著的《测圆海镜》一书中，它是建立代数方程的一般方法，相当于“设某某为X”，并以此建立方程。
当时人们把未知数叫“元”。对多个未知数，则分别为“天元”、“地元”、“人元”、“物元”，相当于我们今天所设的未知数X、Y、Z、U。李冶还用“天、上、高、……”表示X、X2、X3、……；用“地、下、低、……”表示1/X＝X－1、1/X2＝X－2、1/X3＝X－3、……。
“天元开方式”或称为“天元式”，就是一元高次方程。李冶在他所著的《测圆海镜》和《益古演段》中对“天元术”进行了系统的论述。他还突破了前人对一元方程系数和常数项的正、负号的限制。
用“天元术”来列方程的方法，后人分析并非完全由李治一人发明的，一般认为此法已于12世纪中叶在中国出现，而由李冶整理成书。欧洲的数学家们到十六七世纪才做到这一点。
新奇美妙话“拓扑”
哥尼斯堡有一条河，叫勒格尔河。这条河上，共建有七座桥。河有两条支流，一条叫新河，一条叫旧河，它们在城中心汇合。在合流的地方，中间有一个小岛，它是哥尼斯堡的商业中心。
哥尼斯堡的居民经常到河边散步，或去岛上买东西。有人提出了一个问题：一个人能否一次走遍所有的七座桥，每座只通过一次，最后仍回到出发点？
如果对七座桥沿任何可能的路线都走一下的话，共有5040种走法。这5040种走法中是否存在着一条既都走遍又不重复的路线呢？这个问题谁也回答不了。这就是著名的“七桥问题”。
这个问题引起了著名数学家欧拉的兴趣。他对哥尼斯堡的七桥问题，用数学方法进行了研究。1736年欧拉把研究结果送交彼得堡科学院。这份研究报告的开头是这样说的：
“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过的关于量和量的测量方法那一部分之外，莱布尼兹首先提到了几何学的另一个分支，他称之为‘位置几何学’。几何学的这一部分仅仅是研究图形各个部分相互位置的规则，而不考虑其尺寸大小。”
从欧拉这段话可以看出，他考虑七桥问题的方法是，只考虑图形各个部分相互位置有什么规律，而各个部分的尺寸不去考虑。
欧拉研究的结论是：不存在这样一条路线！他是怎样解决这个问题的呢？按照位置几何学的方法，首先他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、C、D四个点；把每座桥都看成为一条线，这样一来，七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了，这样的几何图形数学上叫做网络。于是，“一个人能否无重复地一次走遍七座桥，最后回到起点”就变成为“从四个点中某一个点出发，能否一笔把这个网络画出来”。欧拉把问题又进一步深化，他发现一个网络能不能一笔画出来，关键在于这些点的性质。
如果从一点引出来的线是奇数条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出来的线是偶数条，就把这个点叫做偶点。
欧拉发现，只有一个奇点的网络是不存在的，无论哪一个网络，奇点的总数必定为偶数。对于A、B、C、D四个点来说，每一个点都应该有一条来路，离开该点还要有一条去路。由于不许重复走，所以来路和去路是不同的两条线。如果起点和终点不是同一个点的话，那么，起点是有去路没有回路，终点是有来路而没有去路。因此，除起点和终点是奇点外，其他中间点都应该是偶点。
另外，如果起点和终点是同一个点，这时，网络中所有的点要都是偶点才行。
欧拉分析了以上情况，得出如下规律：
一个网络如果能一笔画出来，那么该网络奇点的个数或者是2或者是0，除此以外都画不出来。
由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，按欧拉的理论是无法一笔画出来的，也就是说一个人无法没有重复地走遍七座桥。
欧拉对哥尼斯堡七桥的研究，开创了数学上一个新分支——拓扑学的先声。
说拓扑学“新奇”，主要是指拓扑学本身而言。它的确是“新”，数学家们提出拓扑学这个词才不过100多年，1848年，德国人里斯才写出第一本关于拓扑学的书。拓扑学也的确是“奇”，下面你就亲自来体会一下拓扑学之“奇”吧。
裁四张长纸条。用毛笔把第一张纸条的两面全部涂黑。如果不准毛笔经过纸条边缘，那么涂完一面以后，必须提起毛笔，至少使它离开纸条一次，才能涂到另一面。
