说起刘的筹算等，和其家世有极大的关系。刘祖籍山东曹州南华（今山东曹县）。其祖父刘晏小时，就和李泌、武员被称为“三神童”。“安史之乱”，武员死于战乱中，李泌起灵武辅佐唐肃宗平叛，而永王李却据江、淮，与其兄李亨争王位。时刘晏诏拜度支郎中，兼侍御史，领江淮租庸使，“所至有惠利可纪，民皆刻石以传”。刘晏凭其名望组织义军坚壁以反抗李。后李兵败被杀，刘晏终不言功。唐肃宗以其为户部侍郎，兼御史中丞、度支铸钱盐铁等使。刘晏由于掌握国家经济命脉，因对算学尤其筹算苦演精进，巧于运用，被称之为理财家。唐代宗即位后，刘晏为京兆尹、户部侍郎，领度支、盐铁、转运、铸钱、租庸使，尽掌国家经济、税收大权。后将户部侍郎让给颜真卿，自己改兼国子祭酒。刘晏所领职事，政绩突出，且精打细算，为朝廷渡过了一个个难关。
后刘晏为吏部尚书，杨炎倚仗权相元载之势为吏部侍郎，就盛气凌人，但刘晏不买他的账，执事中往往互不相让。到元载卖官鬻爵事发，杨炎参与其中，唐代宗就命刘晏为主审，组织李涵、萧昕、常衮共同审理元载一案。元载死，杨炎被贬，他大恨刘晏。建中元年（780），杨炎为相，构陷刘晏欲废太子李适，而拥立独孤妃亲子韩王。唐代宗不辨真伪，赐刘晏死，而将其家流放岭南。杨炎又诬陷说刘晏大量贪贿财物，唐代宗就下令抄了刘晏的家，只抄出两书架书、米麦数斛，其他一无所有，天下为之大哗，为刘晏鸣冤。兴元元年（784），唐德宗知刘晏被冤致死，才为刘晏平反，允许其归葬曹州。贞元五年（789），擢刘晏长子刘执经为太常博士，擢其次子刘宗经为秘书郎。当然这一切，都与初为“白衣宰相”，唐德宗擢为首辅的“金紫宰相”李泌为刘晏鸣冤有很大关系。
在刘晏死后的二十年里，韩洄、元、裴腆、李衡、包佶、卢徵、李若初相继执掌国家财政，而这些人都是刘晏选拔、带出来的，他们也都在理财等方面名重一时。家庭的变故及这一切的影响，再加上祖传因子在这方面的潜力，都使得幼年时的刘，对机械、算学尤其是筹算，有着十分浓厚的兴趣。他在攻读文学诗赋的同时，博览群书，尤对其祖父所传下来的算学诸书苦读不辍，时人称之为“幼学聪敏”。刘其家回京后，恰与李德裕家为邻坊，两人又年龄相当，常相往来。有一次，李德裕到刘家去玩，却见刘手拿《九执历》，在书案上摆弄着算筹。李德裕不解地问：“这《九执历》皆以字算（即笔算），不用筹策，子何以筹策演之？”刘让座后，却说：“其术自开元六年（718），自天竺传入中土，字算（即阿拉伯数字用‘一至十’书写形式笔算）繁碎，或幸而算准者，多为偶然，我初莫之辨，后用筹算演之，却十分简便。因大和（日本）、三韩（朝鲜）等国遣唐使，都极喜好中土的筹算等算学。字算若是一般地加、减，倒还罢了，倘遇多位数相乘、相除，却真是繁不胜繁。”
接着刘用算筹摆出了两式说：“子试为之，筹算后若用字算演之。两相比较，简繁自明。”李德裕看第一式上为‖≡下为≡；第二式上为‖≡，中间空一行之距，下为≡。刘解释说：“筹算为‘凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，行十相望，万百相当。满六以上，五在上方；六不积算，五不单张。’就是说个位可用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位又是横式，依次类推。六以上的算式，摆在上面的一根横的算筹，‘以一当五’；六不能用积累起来的算筹≡来表示，而应用；五不能依照‘以一当五’的办法，用单根算筹来表示，以免和表示十、千等的算筹排列相混淆，而仍用表示。当然纵横的顺序还可颠倒，用另一方式表示，如，还可用来表示，道理一样，都是遇十进位。我摆的这两式，第一式为两数相加，第二式为两数相乘。”
他说着就把第一式两数相加的得数摆在下面，即234+466=700；第二式将乘积摆在上、下两行算筹中间的空位，即234×466=109044，果然极为神速。他又解释说：“若用字算方式来表示，那就是二三四加四六六得七〇〇，二三四乘四六六得一〇七九四四。若是万以计以上数相乘、相除，其算式及步骤异常烦琐，且无意中一数一错，全盘皆错。君可自行演示，两相对比。”刘的一席话，使李德裕终生难忘，也使他从此留心起算学来，因这在实际中十分有用。为度支、为宰相等，更是要精于此道。刘成人后，不仅至此，其他方面也精学巧思，于是贞元年间中举，累官度支郎中，理财等方面也名重当朝，因此李德裕想到他，上奏唐武宗荐刘主持算还回鹘马价事。
诏命下，刘对于马价事本很清楚，他知道只从大历以后有欠回鹘马价事。但为慎重起见，他率属下将度支档案一起翻出，日夜加班，逐年逐项查考，果从大历后每有欠回纥（鹘）马价的匹数，上、中、下马各是多少匹，各自合绢多少匹，都逐年逐项摘录，把各朝各代的交易数额或拖欠数，逐一合计录出，清清楚楚，一目了然，然后上奏朝廷。唐武宗展视，见上自大历元年录起，中经八十余年，但累积起来，欠回鹘马价并不多。他就敕令度支，按总计之数，将府库中绢支出，依据原来互市中以马换绢的匹数，全部起运灵武，然后换乘船只由黄河流至天德，交回鹘乌介可汗等，由他籴换粮食，就以刘为押运使。刘调运大车，将五千匹绢分装在数十辆大车上，由五百名神策军护卫着，浩浩荡荡由长安出发，一路晓行夜宿，途经旱海，正当农历六月。这年上半年正遇干旱，一路炎热，少水沙大，大车实在难行。刘持枪骑马在前，衣不解甲，不敢稍有疏忽，且将沿途所经，绘成详细地图，以便日后再用。
等过了高桥，渐入佳景，一路桑林密布，沟渠纵横，麦浪起伏，稻耕待播。但刘因王命在身，不及细赏沿途美景，催促人马于灵武大道急进。当到达黄河边，他见两河夹洲渚，远望灵武城池远在洲渚正中，水军舰船于洲渚四周罗列。他不禁赞道：“好一处天然宝地，难怪吕温诗曰：‘山横旧秦塞，河绕古灵州。’杜甫又有诗赞曰：‘肃宗昔在灵武城，指挥猛将收咸京。’得此胜地登基，可见昔日君臣还是有眼光的。”正在这时，李岐得报，率军过河列队来接。因李岐是宗室郡王，封号衮王，刘连忙滚鞍下马，行军礼道：“微臣甲胄在身，不得行大礼，还请王爷恕罪！”李岐满面笑容说：“天使奉王命一路辛苦，本王已接到万岁敕命，一路护送天使往天德。”说着就指挥水军舰船靠岸，将车上绢帛一一装上船，然后将刘及人马渡过东面黄河支津，上岸改乘马，边指指点点介绍灵武胜景，刘一一暗记在心。
李岐将刘一行安排在馆舍住下，设宴招待刘。刘已知灵武羊羔酒为上乘贡酒，但王命在身，并不敢多饮。酒过数巡后，就起身告辞道：“船上所载，乃朝廷赐回鹘马价之绢。微臣王命在身，不敢稍有闪失，今晚及明日起程，还望王爷加派灵武军，予以保护。”李岐道：“本王已接王命，天使放心，一切安排妥帖。”这一晚，刘并不住驿馆，只在为他特地安排的船舱中歇宿，便于夜间巡查。天一亮，刘就督从人及灵武水军起运。李岐前来相送，且给所征人夫、车输赏赐，打发他们自回长安。
唐时，灵武气候温暖，雨量充沛，黄河水势浩漫深广，河道通畅。刘率船队顺流北上，船速却不慢，沿途地方上已得传报，自有饭菜、茶水接应，刘也不下船，只在船头与前来抚慰的官员应酬，除犒军之物外，再他个人所送礼物，一概婉言拒绝不收。约十天后，到达天德军，都防御使田牟率军列队迎接。刘和田牟见礼后，就由天德军将士将船上绢帛转运至天德城，打发灵武水军回灵武。田牟遣使通知乌介可汗，到天德城领取唐原所欠马价绢，乌介十分高兴，就派宰相颉干迦斯为使，前往天德城接收绢帛。自回鹘汗国破灭后，知情者都已不在，到底唐欠回鹘多少马价绢，从乌介到其部下，无一人知晓。
刘和颉干迦斯见面后，也不多加寒暄，就问：“太和公主安好？”颉干迦斯答道：“上使放心，公主大健。”刘又问：“今在何处？”颉干答：“回鹘可汗今无建牙处，只随处迁徙，实无定所。”刘又问：“天子已诏命乌介可汗复国建牙，汝可汗怎不奉命？”颉干答：“回鹘实是衣食无着，鼓纛无着，一时难以复命。”刘说：“天子今赐回鹘马价绢，可用以汝等建牙之用。”稍停又问：“汝等说我大唐欠回鹘马价绢，所欠多少？”颉干一时间张口结舌，却答不上来。刘笑了笑，说道：“尽管如此，大唐天子以诚信为本；中土商贾，童叟无欺。今朝廷已备清单在此，汝可照单验收。五千匹绢帛，只多不少。”颉干一听所受绢帛数额这样大，远远超过自己所想，当即大喜，再三称谢。当即由天德军整队搬运出城，堆积如山，颉干迦斯一一清点，指挥回鹘将士于天德城外，装车运回。
刘交接完毕，遂告别田牟回朝复命。临别时，田牟对刘说：“乌介不讲信用，得绢后尚得陇望蜀，决不肯北还，我将枕戈以待，请天使回朝善言之。”刘说：“边防军务，不得圣命，下官不敢与闻。使君还须遵命善为之，有章直接上奏为妥。”两人边走边谈些闲话，出到天德城南，刘与田牟告辞，上马率五百神策军南去，取道长安。刘赴灵武走的是灵州大道，回长安时却经银、夏、绥等州，这条路线是秦始皇、汉武帝北巡时，经古灵州，视察西河及单于台所走路线。而到中唐后，银、夏等州已成为安排党项归附诸部之地。刘是个有心人，他于沿途又考察了党项诸部的分布、生活等情况，详绘所经之地的山川地理，入朝后一并上奏。
乌介可汗得唐偿还的五千匹绢，内心十分高兴，但对唐武宗不答应他赐牛羊及借天德城等请求，仍心怀不满，所以虽经诸部拥立为可汗，他并不马上正式即可汗位。因他一旦要宣布正式即位称汗，就要建牙，即可汗为牙帐所在地。他自有自己的打算，因他并不想北还漠南，更不愿到漠北去，他想如自己正式宣布继立，又得唐册封，就于振武城或天德城建牙，故再三向唐武宗请求借城。只要得唐允准，他于所借之城建牙，自然就有借无还了。但对此请求，唐武宗一再不准，乌介也就不正式即可汗位，也不奉诏北还。太和公主一再劝他以和唐大局为重，建牙后可得唐支持，他一概不听。他就暗示所部，依照那颉啜的做法，剽掠羌、浑等部，南侵云、朔等州。如唐遣使问罪，他可推作不知，大约是所部自行就食所为，想以此逼唐就范，以达目的。他又命颉干迦斯写信给刘沔，让刘沔劝唐武宗准借城给乌介建牙，却派人将写给刘沔的信送入朝。
自刘还以马价绢回朝后，回鹘所部的侵掠行为，不但不收敛，反而加剧，天德、振武等军深以为忧，就不断将被掠情况上奏朝廷。可群臣们见李德裕真能沉得住气，一再要求唐武宗严禁边将出击，只一味地颁诏，要求乌介率众北还。乌介自然不会奉诏，反而却沉不住气了，他就亲自出面，来往于天德、振武之间，亲自指挥所部大肆抢掠羌、浑诸部的营帐、马牛羊等，又屯于杷头关之北。羌、浑等部派使入朝禀报被抢掠之情，唐武宗又下诏严令乌介北回。乌介自以为其为有效，唐武宗终有反应了，就变本加厉地率众南越杷头烽，突入大同川，驱掠居于河东的吐谷浑、党项诸部的牛马数万头（匹），又转攻到云州城下，云州刺史张献节紧闭四门，据城坚守，派使入朝告急。吐谷浑、党项等部众，见得不到唐军保护，纷纷扶老携幼逃入深山，躲避战乱，他们也派人入朝告急。
唐武宗连续接到边报，心中大怒，就下诏征发陈、许、徐、汝四州及襄阳等军屯聚太原及振武、天德军，待来春驱逐乌介等北还。李德裕上奏：“乌介反把太和公主留做人质，不令还朝，其目的就是令陛下投鼠忌器，且答应他借城之要求。臣之所以一再请陛下约束边军，不令出击，一是为公主之安全着想，二是俟乌介回心转意，重续两国友好。今乌介竟然率兵入攻云州，可见已于我恩断义绝，其屈在彼不在我。虽说如此，现已八月，大军齐聚尚待时日，陛下不妨再赐乌介书，明言情实，随其作何想。如其视此诏为陛下最后通牒，亦未免不可，如其不效，也显我天朝先礼后兵。”唐武宗点头道：“卿言有理，就着卿草诏，再以刘沔答回鹘宰相颉干迦斯书，责其谕乌介好自为之，免遭后悔。”德裕称：“臣遵旨！”
