希尔伯特已经在大学度过了整整8个学期。为了取得博士学位，他开始选择题目做学位论文了。他自己喜欢研究连分数，后来林德曼告诉他雅可比早就给出了结果。希尔伯特又重新选择了代数不变量理论中的问题。这个问题虽难但有希望解决。他采用了一条全新的证明道路，漂亮地给出完全不同前人的证明方法。
1885年2月7日，在大学肃穆庄严的大厅公开举行的晋级典礼仪式上，希尔伯特面对两名对手选定了答辩题目。这两个命题横跨了整个数学领域。第一个是关于用实验确定绝对电磁电阻的方法；另一个是哲学问题。辩论时，希尔伯特回答了两名正式指定的数学同学有关这方面问题的质疑。他的论题抗辩对手之一是后来成为著名的地震学家的埃米尔·魏恰特。答辩结果证明，希尔伯特有能力领悟和抓住辩论中的重要问题，因此他被授予哲学博士学位。
校长主持了宣誓仪式，威严的声音中，表达了严格的要求，寄予了极大的希望：
“我庄严地要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢地去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩，既不为厚禄所驱，亦不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”
希尔伯特正是这样做的。现在他已经成为了博士，可仅仅是个博士。因为这在当时，如果你仅仅是个博士，那你甚至连给学生讲课的资格都没有，更不要说工资了。正常的程序应该是：首先，你必须再做出一件很有创造性的数学研究工作，从这项工作中必须看出你不愧为博士资格。如果教授会（那时学校里有教授会）对你的这项工作感到满意，你才能有讲师的称号，这时你才有了可以上堂讲课的许可和荣誉。但学校并不负责保证你的工资。讲师的工资全靠选听他讲课的学生的学费来支付。有教授、副教授在上课，一般的讲师开班，能有五六个学生就不错了。希尔伯特曾经开了只有一名学生的班，讲授解析函数（这个学生是美国人，后来成了研究不变量理论的重要人物）。
没有多少学生，没有多少工资，生活缺少保障不用说了。只有等到成为副教授才能从大学领取工资。一旦能成为教授，那就非常了不起了。在当时的德国，教授的地位十分显赫，名望高，待遇好。教授去世安葬时，常常在墓碑上刻有他们的学衔并标明他们最擅长的学科。可教授的人数太少了。因为即使在首都柏林，数学教授都只有三名（不是随便设的），在一般的大学里只有两名，而在哥尼斯堡，才有一名。
希尔伯特从一开始就把眼光放得很远。他不但要成为教授，而且要在数学领域里做出成绩，要像高斯、康德、雅可比一样的优秀。
青年希尔伯特25岁时，开始了在哥尼斯堡的讲师生涯。他果断地决定，作为一名讲师，他所选择的课目，除了教育学生外，还要教育自己。他决定不教重复的课，为的是全面了解数学。这对一个年轻人来说，仅有一般的勤奋是不够的，他必须不间断地学习。希尔伯特为实现自己的理想，扎实地努力着。在每天去苹果树下散步时，他和好朋友一起，系统地“勘查”数学。
希尔伯特真不愧是个数学大家。他做的许多事情，都让人感到他的深思熟虑。他的长远目标，以及为实现他的大想法，从现在起，从眼前起，步步紧扣地朝着目标努力。
希尔伯特站在了高处，瞭望未来，他看到了自己应该走的路。
哥尼斯堡远离首都柏林，比起柏林，哥尼斯堡处于数学活动圈子的外围。大数学家在这里工作的少，没有多少学生愿意到这么偏远的地方来学习数学。希尔伯特要了解大数学家们的想法，从那里他可以简捷地了解数学最前沿的问题，学习大数学家们的思考方法。
希尔伯特为未来自己的发展做出至关重要的选择：
“哥尼斯堡由于偏远带来的弊病，我希望能在明年作几次旅行来克服，也许，我将开始和果尔丹先生会面……”
4年前刚刚获得博士学位时，23岁的希尔伯特就曾到莱比锡去找菲力克斯·克莱茵学习数学。当时36岁的克莱茵已是数学界的一名传奇式人物了。克莱茵20岁刚过，便成果累累，22岁获哥廷根大学教授资格，23岁当上了爱尔朗根的正教授，并在就职典礼上发表了“关于现代几何学研究的比较考察”的讲演。这个讲演在历史上非常有名，它首次提出把许多看起来毫无关系的几何，在群的概念下统一起来，并给出了分类。他的工作，影响了几十年几何学的研究方向（这些内容现在在有些研究生的课程中仍然可以见到）。
当时，希尔伯特参加克莱茵主持的讨论班，后来同克莱茵结下了深厚的友谊。
那时，他还接受克莱茵的建议，访问了正是科学活动的蜂巢——巴黎，拜访了法国数学大师庞加莱。庞加莱已经发表了一百多篇文章，被提名为科学院院士。希尔伯特与拜访者交流最关心的“关于不变量”的课题。初步的访问使希尔伯特受益无穷。1888年，认真选好线路的学习旅行开始了。他顺路共访问了21位科学家，首要的访问目的是拜见“不变量之王”果尔丹。
被称为“不变量之王”的果尔丹，也是个传奇人物。他比希尔伯特大25岁，那时已经五十多岁了。他很晚才从事科学事业，但他聪慧机敏，有非凡的计算能力，很重友情。人们常常看到，当他独自一个人散步时，总是在心里做着长长的计算，嘴里不停地大声嘟囔着。几乎所有的时间，他都在考虑代数不变量的理论。他常常喝着著名的埃尔兰根啤酒和年轻人在一起大声交谈不变量问题，不变量就是他的生活。
什么是不变量呢？一般的不变量指被研究对象在某一种变换下保持不变的量。比方说，我们可以理解的，一条线段或一个多边形，无论平移还是旋转，它们线段的长度和角度都不变。那我们就说几何图形的长度和角度是刚体变换（如平移或旋转）下的不变量。
当我们建立了坐标系，比如在平面上，水平坐标即横坐标记为x，垂直坐标即纵坐标记为y，平面上的任何一个点等价于一对实数（x，y），这样，几何图形就可以用代数方程来表示，代数方程也可以用几何图形来表示。
这种表示方法要归功于笛卡尔发明的解析几何。
当一个图形相对坐标轴的位置改变时，比如平移或旋转一个三角形，图形本身的形状和大小不改变，但是它的方程会有很大的不同。人们反过来这样考虑问题：由于长度和角度不变，那么与图形中不变的量相应的代数形式的某些性质是否也应该保持不变？哪些是不变的量？有些什么规律性的东西？
研究这些代数不变量，通过不变量来表征给定几何的特性，就非常有意义了。不变量的研究，用现代的话说，是当时的一个“时髦理论”，因为这个理论事关重大。它的意义可以从当时一位伟大的数学家的话中看出：
“正如俗语说，条条大道通罗马，所以至少就我自己的情况说，代数上所有研究迟早都要归宿到近世代数的大厦，在其闪闪发光的大门口上铭刻着‘不变量’这几个字。”
代数不变量理论已经成了当时的研究热点。德国最重要的数学杂志《数学年鉴》，几乎成了国际上刊登代数不变量方面文章的独家论坛。
