“我永远敬爱你！”原来这封贺信是当年曾奚落过他的波多丽女伯爵久病后伏在病榻上写的。其实，波多丽并没有因格尼亚过去的浪荡生活而歧视他，当他得知格林尼亚已痛改前非、发奋学习时，始终关心他取得的每一个成就。
马克思说：“耻辱就是一种内向的愤怒。如果整个国家真正感到了耻辱，那它就会像一只蜷伏下来的狮子一样，准备向前扑去。”这一至理名言，对个人也是适用的。通过格林尼亚受侮辱后崛起的故事，说明有缺点的人，甚至“二流子”，也是可以通过努力为人类作出贡献的，也是可以得到人民的承认和受到尊敬的。这类例子多如牛毛。西班牙一个名叫桑迪亚哥·拉孟伊卡哈的医学家，小时好逸恶劳不好好学习，沾染不良习气，因偷钱被学校开除，最后与一伙惯盗为伍，浪迹于外，父亲被活活气死。后来他猛然悔悟，发愤读书，高中毕业便名列前茅，入大学后更加努力，25岁时便成为母校的首席医药教授，并因创立神经细胞学说等贡献而荣获1906年诺贝尔生理学和医学奖。这又是一个浪子回头的故事。
对于有缺点、犯错误的青少年，人们应给予更多的爱，像格林尼亚的老师波韦尔和巴比尔那样，这就更有利于他们的转化；而不应对他们采取冷漠甚至歧视挖苦、讽刺打击的态度，否则会使他们心灰意冷，难于改弦易辙，走上光明之路。而有劣迹的青少年本人，则应及时调整自己的心态，坦然面对缺点、改正错误，用自己坚持不懈的努力说明自己确已旧貌换新颜，以取得人们的谅解而便于得到关爱，走向新生；而不应自暴自弃，甚至破罐破摔，在错误的道路上越走越远，最终不但会危害社会，还会毁了自己的一生乃至家庭。
退着走路的科学家
每年12月10日，都有几位诺贝尔奖得主要从瑞典国王手中接过诺贝尔金质奖章、证书和资金，然后按照礼节，倒退着走路回到自己的座位上来。
倒退着走路这一礼节并不只限于瑞典，在德国也是这样。伦琴也遇到过这个问题。
1895年11月8日，伦琴发现了X光，在次年公开后，引起了极大的轰动。几个月中，伦琴收到来自世界各地的讲学邀请。但他要继续研究X光，于是只好婉言谢绝邀请并致歉意，但无法拒绝德皇威廉二世的邀请。1896年1月13日傍晚，他到柏林皇宫去为皇帝及大臣作X光的表演。
除了X光的演示和讲演外，还同皇帝一起进了晚餐，接受了一枚普鲁士二级王冠勋章。离去时退着走路，一直到走出王宫。伦琴退着走路还算顺利，因为他事前知道这个规矩，作了练习。这一练习在1901年获诺贝尔物理学奖时又一次派上了用场。
可是，对其他人来说，就不那么顺利了。
伦琴有两位同胞，一位是大有机化学家威尔斯泰特（1872～1942），另一位是大化工专家哈伯（1868～1934）。前者在20世纪初研究叶绿素a、叶绿素b和黄色素的结构，取得了重大成就——1926年，终于发现叶绿素a、叶绿素b都是镁的化合物。后者则在1909年报道了他用锇催化剂得到的浓度为6%～8%的氨的成果，成为具有实用价值合成氨工艺的转折点。他们作出这些成绩后，也期待着有朝一日皇帝会像邀请伦琴那样，邀请他们。于是他们便经常练习倒退着走路。
不顺利的是威尔斯泰特。他是一位精致瓷器的爱好者、收藏者。两人就在威尔斯泰特放有一些昂贵瓷器的房间里练习倒走。结果，他们的练习以一只昂贵的瓷器被打碎而告终。可是，他们始终没有受到皇帝的邀请。
不过，有趣的是，他们当初的练习最终没有白费。1915年，威尔斯泰特因对植物色素，尤其是叶绿素的化学结构等的研究，荣获诺贝尔化学奖。哈伯也在1918年因对合成氨的贡献获同一奖项。先后获奖那天，他们分别从瑞典国王手中接过奖品，麻利地倒退着走回自己的座位。更为有趣的巧合是：1915年是一战前最后一届、1918年是一战后第一届颁奖，这两届化学奖都分别由德国人独享。
π的命运
稍有数学常识的人都知道，圆周率π是一个无限不循环小数——无理数，也是一个超越数。
在理论上说，可以把它计算到小数点后任意多位，但无法用一个有限数来表示它。
可是，历史上却不止一次发生过这样的事，议会通过法律的形式，把π值规定为一个简单分数、有限位的小数，甚至整数。
第一次发生在19世纪末叶的美国。一位名叫埃德温·古德曼（Edwin JGooldman）的美国医学博士，为了使印第安纳州得到富裕，向该州众议院介绍了“一个新的数学真理”，由于这个发现，这个州将会从王国那里得到好处。于是他为此拟出一个提案。这个提案的第二部分有下列内容：发现第四个重要事实，即直径与圆周之比等于5/4与4之比。由此可以看出，他的“数学真理”是π＝4∶（5/4），即π＝32。由于该州公共教育局长对这一提案大力支持，所以该州众议院于1897年2月5日一致通过了这个编号为246号的提案。接着，将它递交给参议院的一个委员会。如果最终得到参议院的通过，该议案就将被实施。
似乎是“上帝”不愿“毁灭”人类，每次都在灾难之时派来救星。这次也不例外，上帝派来的救星是普尔都（Purdue）大学的教授瓦尔多（CAWaldo），他在忙别的事情时，偶然听到一些人在议论这件事，他觉得很不对劲，于是决定介入。他在参议院表决前几分钟对此进行干预，致使上述提案被搁置起来。当然，此前一些报纸也对这一荒唐的事进行了冷嘲热讽，这也是这一提案被搁置起来的原因。
对上述事件，另有文献说法不一。例如说，“法律应该承认π＝4”——而不是前述32。
还说，古德曼称“顺利解决了过去100多年里最优秀的人才绞尽脑汁也无法解决的问题”，等等。由此可见，这一奇趣事件已引起许多媒体关注，以致在多次传递时发生了的失真。
上述荒唐事还不止一件，有文献说，一个国家的议会企图以法律的形式将π值定为3。
阿基米德的墓碑
许多名人在辞别人世后，后人为了表彰或纪念他们，或者遵照这些名人的遗愿，常为他们立下墓碑，碑上刻有铭文，有的还有图形、公式等。
古希腊阿基米德被称为“数学之神”。他在《论球和圆柱》一书中公布了他的一个有趣的发现：一个内切于圆柱的球的体积和表面积，都分别是这个圆柱的2/3。他对这个发现极为欣赏，以至于希望在他死后的墓碑上刻下这个图形。
约公元前265年，罗马人征服了意大利半岛，旋即向地中海其他地区扩张。战争的结果是，公元前146年伽太基帝国灭亡。
在第二次布匿战争中，罗马人于公元前215年进攻阿基米德所在的叙拉古城。阿基米德以其天才的智慧和叙拉古人一起顽强地抵抗了三年，强大的罗马军团付出了惨重的代价。最后因为叛徒的出卖和弹尽粮绝而兵败城陷。这时，阿基米德正在思考一个数学问题，他是那样全神贯注，以致没有察觉敌人已来到面前。一个士兵举起了屠刀……一代伟人就这样惨死在暴徒之手。他临终前还在愤怒地吼道：“不要弄坏我的图形！”时间是公元前212年。
阿基米德死后，罗马将领马塞拉斯（约元前268～前208）得知了这一消息，他对这个难以制服的对手表示了钦佩和尊敬。不但把杀害阿基米德的那个士兵作为杀人犯来处决了，而且为阿基米德举行了隆重的葬礼，并在墓碑上刻下阿基米德要求的那个图形，还刻有铭文“再生乃故我”。
真有这个事吗？真有这样的墓碑吗？当时没有人见过，许多人认为这仅仅是一个传说。
光阴似箭，岁月如流。100多年过去。罗马政治家、雄辩家、哲学家西塞罗（公元前106～前43）在公元前75年任西西里总督。他还曾作为罗马帝国的财税官去叙拉古收过税，由于他仰慕阿氏，便在此时专门去寻找阿氏的墓地。他找了很久，终于在荆棘丛生的杂草中找到了那块墓碑，见到了那个图形。于是他把荒芜的墓地修葺一新。传说被证实。
但是，年深日久，墓地随岁月的流逝和战争的硝烟再次被废弃。随着城市的发展，这个著名的古迹似乎永远消失了。这是一个巨大的遗憾！
然而，奇迹出现了。在1965年，当叙拉古一家新建的饭店挖掘地基时，铲土机碰到了一块墓碑。人们惊奇地发现，上面刻着一个球内切于圆柱的图形。这不是阿基米德的墓碑吗？人们欣喜若狂。这真是“众里寻她千百度，那人却在灯火阑珊处”。
叙拉古人终于为他们这位空前绝后的伟人重建了茔墓：坟前立着那著名的石碑，碑上依然是那个阿基米德引为得意的图形和铭文。
理发师引出的“危机”
理发师怎么会引出“危机”？GEB是什么？两者之间又怎么会有关系呢？
相传在很早以前的一个村庄里，只有一个理发师，他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。这就引出一个问题：他该不该给自己理发？或者问：他的头发应由谁理？
要是他给自己理发，那么他就违反了自己的规定，因为按规定，他不应该为自己理发；要是他不给自己理发，他也违反了自己的规定，因为按规定，他一定得给自己不理发的人理发，所以他也得给自己理发。理发师犯难了：他不论怎么做都“自己打自己的耳光”。
在逻辑学中，如果承认某一命题是真的，但它又是假的；如果承认它是假的，但它又是真的。这样的命题叫“悖论”或“佯谬”。上面这个故事被称为“理发师悖论”。
1901年6月，英国数学家、哲学家罗素（1872～1970）发现了后人以他的名字命名的“罗素悖论”，这是集合论中的一个悖论，所以又叫“集合悖论”。它的基本内容是：如果把所有集合分为甲、乙两类，甲类可以把自身作为自己的元素，乙类不可以把自身作为自己的元素；那么，所有的乙类集合的集合是甲类还是乙类呢？如果说所有的乙类集合的集合属于甲类，由于甲类可以把自身作为自己的元素，那么乙类集合的集合应属于乙类。如果说所有的乙类集合的集合属于乙类，那么它显然可以纳入所有的乙类集合的集合之中，这样它又符合甲类要求而属于甲类了。由此看来，所有的乙类集合的集合既是甲类又非甲类，既是乙类又非乙类，于是造成了不可克服的逻辑矛盾。1918年，罗素把这个较为高深的集合论中的悖论通俗地解释为前述“理发师悖论”，所以许多文献把这两个悖论相提并论，其本质都是，使逻辑陷入一种无法摆脱的“怪圈”。
那么，“理发师悖论”又怎么会引发危机呢？它的确引出了“危机”——“第三次数学危机”。集合论中存在着不可克服的逻辑矛盾，从根本上危及整个数学体系的确定性和严格性，这怎么不是“危机”呢？
不过，这里有一个很重要的历史背景，就是，为什么这次危机不早不晚，正好在20世纪初即“罗素悖论”提出时就到来了呢？
它似乎是可以早些到来的，因为历史上的数学悖论早已发现且不计其数。例如，古希腊时代欧布利德或古罗马哲学家、政治家西塞罗（公元前106～前43）的“谷堆悖论”，德国哲学家黑格尔的“秃头悖论”，意大利伽利略的“自然数等于完全平方数悖论”，德国数学家施瓦兹（1843～1921）在1880年提出的“施瓦兹悖论”。这些悖论没有能引起“危机”的原因在于，数学家们对自己不够自信，因为类似“悖论”这类问题，在数学中比比皆是，不值得一提。没有引起“危机”的第二个原因在于，其中有的悖论已被“克服”，既已克服，便不存在“危机”。例如古希腊数学家芝诺（约公元前496～前429）提出的四个悖论——其一是众所周知的古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯永远追不上乌龟的悖论，在19世纪已经得到解决；有的则未能引起足够的注意。因此在20世纪之前，这一“危机”没有到来。
1874年，德国康托在《克列尔杂志》上发表了《论所有实代数数集合的一个性质》的论文，它标志着集合论的诞生。集合论的创立，颠倒了许多前人的想法，与传统数学观念相冲突，因此一开始就遭到反对者的指责。但在1897年第一次国际数学家大会在瑞士苏黎世召开时，德国数学家赫尔维茨（1859～1919）和法国数学家阿达马（1865～1963）就充分肯定了康托的理论在分析学中的重要地位，最终导致集合论被公认。此外，“皮亚诺算术公理系统”的出现，自然数理论被归结为一组不加定义的概念和几条有关的公理，算术理论公理化了。这样，数学的基础就放在集合论之上了。
这样，在19世纪后半叶，数学家们开始陶醉了：数学基础已牢固无比，数学的严密性已达到。不过，几乎同时，一些事也使数学家们不那么“陶醉”：1897年，意大利数学家布拉利·福蒂（1861～1931）提出了以他名字命名的悖论；1899年，康托也提出“最大基数悖论”和“最大序数悖论”。这些集合论中的悖论也没有得到解决，一些人心中也产生了困惑。
然而，这些并没能阻止人们的自信。1900年在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，法国著名数学家、物理学家庞加莱（1854～1912）就宣称：“现在，我们能说（数学）完全的严格性已经到来了。”接着便是前述“罗素悖论”和“第三次数学危机”的出现。
由此可见，“第三次数学危机”是在人们误以为数学基础已经牢固，因而盲目乐观，但接着就遇到无法克服的“悖论”时思想准备不足而必然产生的。
不过，“第三次数学危机”的出现虽然使西方数学界、哲学界、逻辑界产生震惊，但并未使他们方寸大乱。因为人们已经有前两次“危机”的历史“经验”。于是他们为消除这一危机进行了至今仍在继续的努力。但在20世纪前30年是他们投入最多、辩论最激烈的时期，因而许多重大成果相继产生。其中成果之一便是三大数学流派——逻辑主义、直觉主义、形式主义的诞生。
1931年，奥地利数学家哥德尔（1906～1972）发表了《论“数学原理”和有关体系的形式不可判定命题》的论文，给出了两个“不完备定理”，这是“数学和逻辑基础方面伟大的划时代的贡献”。哥德尔第一定理推翻了数学的所有领域能被完全公理化这一强烈的信念；而第二定理则摧毁了沿着希尔伯特等人设想过的路线证明数学内部相容性的全部希望。从此，前述三大数学流派为克服“危机”、寻找可靠数学基础的努力全部化为泡影！于是，数学家们再次陷入困惑，人们在困惑中沿着不完备定理这一指路明灯进入新一轮的思考和探索。
不完备定理表明，任何所谓严密形式体系都不是天衣无缝的，没有哪个重要的部门能保证自己没有内在矛盾，人的智慧源泉不能被完全公理化；新的证明原则等待我们去发现或发明，某些被认可的数学哲学应重新评价，其中有的会被更新或废弃。这种认识论上的飞跃为我们开拓了广阔的视野。
