一、带利润的马氏链
在马尔可夫预测法中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标，如利润等的变化。如服装的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本。假定连续畅销时盈r11元，连续滞销时亏本r22元，由畅销转为滞销盈利r12元，由滞销转为畅销盈利r21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链。
二、期望利润预测的步骤
企业追逐市场占有率的真正目的是使企业的利润增加，因此，竞争各方无论是为了夺回市场份额，还是为了保住或提高市场份额，在制定对策时都必须对期望利润进行预测。
进行期望利润预测主要分三步进行：第一步，进行市场统计调查，调查销况的变化情况，即查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或连续滞销的可能性是多少；第二步，统计出由于销况的变化，获得的利润和亏损的情况；第三步，建立数学模型，列出预测公式进行预测。
“案例”
规模效应、随机游走假说与市场有效性
——基于马尔可夫链对上海A股市场的实证研究
自20世纪60年代以来，市场有效性一直得到学者们的广泛关注，市场有效性理论已被广泛应用于西方资本市场，在现代证券理论中占有重要地位，没有任何理论能像它一样获得经济学家如此广泛的讨论和检验。在研究证券市场有效性的过程中，发现了一些市场异象，比如一月效应、周末效应、市盈率效应、规模效应等，这些异象的存在使投资者能通过特定的投资策略获取超过市场平均水平的超常收益，从而构成对有效市场假说（EMH）的挑战。
我们知道异象的研究对于科学的发展起到极其重要的推动作用，它因为不能被原有的范式所解释，从而促使人们建立起新的可以解释异象的范式，比如由于牛顿的理论不能解释水星近日点的移动，而爱因斯坦的广义相对论却可以，所以人们放弃了牛顿的理论作为范式。但是异象也有可能只是可以用原有范式解释的一种人们的暂时疑惑，因此辨别和解释“规模效应”等金融市场上出现的异象将会是理论上的一个里程碑。本文就是以上海A股市场为基础研究规模效应。
规模效应是指股票的平均收益与公司的规模之间具有规律性的负相关关系，即较小规模公司的股票具有较高的收益率，而较大规模公司的股票具有较低的收益率，因此规模效应又称小公司效应或小盘股效应。
一、组合的构建及其统计描述
1.样本选择
本文的研究对象为2003年底在上海证券交易所上市的全部A股股票，共754只。为了保证数据的可比性和可靠性，作者剔除了在研究期内被特别处理或特别转让的股票，并且剔除了那些除权后股票价格为负值的公司。由于在公司股票首次公开发行之后短期内股价会非正常波动，所以股票要等上市一年后，才会进入作者的选择范围。这样，剔除掉190只股票，得到有效样本股票数为564只。为了保证研究结果的可信服性，研究跨度必须比较广，应该包含一个完整的市场走势即牛市和熊市，因此本文研究的时间阶段取为1996年1月至2004年12月，共108个月。
2.数据来源
股票价格数据来自海通证券大智慧证券信息港的交易系统，股本数据来自新浪网站财经纵横频道。
3.数据的说明
（1）公司规模的确定。公司规模即公司市场价值。与国外不同的是，中国的股票分为流通股与非流通股，流通股又分为A股、B股和H股，按照市值的传统定义及其风险根源考虑，市值应以流通股本为度量，由于H股在香港挂牌交易，B股主要针对境外投资者，因此，本文在计算公司流通市值时，对于同时发行A、B股或同时发行A、B和H股的公司，只计算其A股部分。
（2）收益计算。考虑到分红、配股、送股、转赠和增发的原因，计算收益时，应对股价进行复权处理。
4.组合构造方法
从1996年到2004年的每一年里，先将样本中股票按公司规模从小到大进行排序，然后分为10个组合，每个组合包含的股票数目尽可能相等。在1996年的组合中，122只股票进入组合，到2004年，数目增加到564只。
5.统计描述
1996年，最小规模的组合所包含的公司的市场价值平均为9213万元，最大规模的组合所包含的公司的市场价值平均为91756万元，而2004年二者的数据分别为24901万元和477456万元。
可以看出在这9年中，1998、2000、2001和2004年表现出规模效应，基本上随着规模的增加，组合获得收益也越来越低，但是其余年份并不显著，并且在1996和2003年规模效应反而走向反面，即规模大的组合获得较高的收益。必须注意的是，“幸存者偏差”“幸存者偏差”是一种在研究方法论上常见的错误，也就是说只是根据少部分成功案例的历史来了解成功的原因，而没有也不可能将所有的成功和失败的案例做个系统的对比。效应有可能影响到组合收益率。
可以看到规模小的组合可以获得更高收益的趋势比较明显。组合1—10都具有正的偏度，除组合1以外，其余组合的峰度都大于3，因此与标准正态分布相比，组合2—9的月收益率都呈现右偏、尖峰的分布形态。
二、马尔可夫链与依规模组合收益序列的随机游走假说检验
如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，这时序列不具有可预测性。当一个序列是纯随机序列时，其自相关系数应该与0没有显著差异。我们这里利用Eviews提供的相关分析来判断依规模组合月收益率的时间序列是否为纯随机序列。
尽管自相关分析得出了依规模组合1—10的收益率序列是纯随机的、都不具有可预测性的结论，但是我们知道，自相关分析依赖于两个假定，一是时间序列必须具有方差稳定性，二是时间序列必须是线性的。当这两个假定不满足时，自相关分析得出的结论可能不是正确的。而这两个假设却是相当的严格，金融资产的收益一般都表现出非线性和方差非稳定性的特征，如对股票的收益率序列建模时，其随机扰动项往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动，在较小幅度波动后面紧接着较小幅度的波动，时间序列可能表现为ARCH或GARCH的类型。因此，我们必须寻找其他的更一般的方法作为自相关分析的补充，才能更充分的证明按照规模大小形成的各个组合的收益序列不具有可预测性。
另外一种可供我们选择而又不需要上述假设的检验方法就是马尔可夫链方法。不像其他的检验随机游走假说的方法，马尔可夫链方法不要求收益序列的线性假设，例如它可以检验两个都是低收益率的连续月份要比两个都是高收益率的连续月份后面更有可能跟着一个低收益率的月份。马尔可夫链方法也不要求收益序列的正态性分布假设，而我们在第二部分就已经检验到各个组合的收益序列都不符合正态分布。但是要求收益序列必须平稳所谓时序的平稳性，即是指若时间序列满足：对于任意时间yt，其均值恒为常数；对于任意时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关。那么这个时间序列就称为平稳时间序列。，从而具有稳定的转换概率，即要求马尔可夫链为时序的。
我们先用自相关方法检验收益序列的稳定性。如果序列的自相关系数很快地（滞后阶数大于2或3时）趋于零，即落入随机区间，则时序是平稳的，反之非平稳。组合1—10的月收益率序列基本上从第1阶开始就落入置信水平为95%的置信区间内，表示与0无显著差异，因此我们可以断定依规模组合1—10的月收益率序列都是平稳的。
在本文中作者选择使用两状态二步马尔可夫链，在文献中可以发现很多种关于状态和步数的选择，例如：Dryden（1969）使用了一个三状态一步的马尔可夫链来检验股票价格变动的方式，这三种状态分别是“上升”、“下降”和“不变”，这种选择很适合他的调查研究，因为他使用的是日价格序列，有可能价格在连续两天内保持不变。一方面是因为两状态接近随机游走的本质，二是因为“不变”状态在组合的月收益率序列中不会出现。我们选择二步链是因为它可以使我们检验到投机泡沫的存在，而一步链却很难做到这一点。我们并没有选择更高步数的链，因为高步链需要更多的初始状态，从而使得我们估计转移概率矩阵的样本数目减少。
比如：对于2000年的12个月份来说，R为1997—1999年三年期间的平均月收益率，必须注意，开始的三个年份里由于前面都没有足够的数据，所以R被指定为这三年的月收益率的平均值。
随机游走假说使得各个依规模组合的收益率的时间路径应当是纯随机的，这样，各个组合的过去的收益和未来的收益之间应该不存在任何结构或方式的联系。在马尔可夫链中，这要求在t时刻无论前面的两个状态是什么，0状态或1状态出现的概率应当是相等的。正规的来说，随机游走的零假设是所有转移概率都相等，因为拒绝零假设可能会面对多种可能的选择，所以我们将注意力放在其中的一个选择上，这种假设直接瞄准“理性”泡沫，这意味着相对于前面的两个状态是0：0来说，0状态更有可能跟在1：1初始状态下出现，这样当这种趋势建立起来之后，价格反转或泡沫破裂就会发生，因此λ00＜λ11.如果没有理性泡沫，λ00=λ11，我们将该式作为对应的备择假设H1.
三、市场模型和随机游走假说检验
为了把风险因素和市场有效性纳入到分析中来，我们把检验随机游走假说的马尔可夫链方法应用到市场模型的残差上来。我们知道，风险对于投资者来说就是不能通过投资组合分散的波动性，这种不能分散的风险反映了股票跟随市场作为一个整体的收益波动程度。这样随机游走假说就变为把市场对单个组合的影响因素剥离出去后组合收益的不可预测性假说。
这种包含了滞后和领先的市场收益的市场模型来自于Dimson（1979），他认为小规模公司的股票持有人一般都比大规模公司股票持有人数目小，因此小规模公司的股票可能很长时间不被交易，这样价格可能保持不变，特别是在观察间隔比较短的时候。本文使用的是月度数据，我们不能排除这种现象不会出现，所以采用了这种模型。更高阶的滞后和领先的市场收益经检验发现不显著。所以我们这里使用了一阶滞后和领先的市场模型。组合p的β值通过βp，-1、βp，0和βp，1加总得到。如果一阶滞后或领先的市场收益在10%的水平下不显著，我们就把它从方程中剔除。可以看出，各组合的β值的范围位于0.873和1.228之间，平均的β值并不等于1，这主要是因为这些组合并没有包含市场中所有的股票。随着规模的增大，组合的β值趋向于变大，这与我们的常识不同。我们发现小规模组合的一阶滞后和领先的系数都不显著，说明在我国市场上，由于投机风气的盛行，小规模的股票并没有因为规模小而使参与人数减少。
我们把依规模组合1—10的市场模型的残差按照第三部分的做法用马尔可夫链来分析。小规模的两个组合2和3以及组合8都拒绝λ00=λ11的假设，又因为组合2、3和10的λ00的估计量大于λ11的估计量（λ^00＞λ^11），与“理性”泡沫方向刚好相反。所以可以断定，所有的组合并没有显示出“理性”泡沫。小规模的两个组合2和3都拒绝H2假设，其余组合都没有拒绝这个假设，因此，一旦我们把不能分散的风险所导致的收益因素从总收益中剔除出去，只有小规模的的组合表现出可预测性。
四、结论及启示
本文以上海A股市场为研究对象，将股票按市场价值分为10个投资组合，考察组合在1996—2004年的月收益率状况，我们发现这些组合的月收益率数据的规模效应并不是特别明显，在这9年中，1998、2000、2001和2004年表现出规模效应，但是其余年份并不显著，并且1996和2003年中规模效应反而走向反面。然后本文依靠这些组合的收益序列考察组合收益的可预测性。由于收益序列呈现出非线性和非正态性的特征，所以本文使用马尔可夫链方法并结合传统的自相关分析来研究收益序列的可预测性。研究发现：依规模形成的各个组合的收益序列都满足随机游走假说，从而不具有可预测性。
为了把风险因素和市场有效性纳入到我们的分析中来，本文还利用马尔可夫链对依规模组合市场模型的残差进行了可预测性检验，发现除了组合2和3之外，其他组合都接受随机游走假说。我们假定β值在这9年内保持不变，这和现实不符，因此组合2和3的例外可能是这方面的原因，考虑到没有考虑风险因素的实证结果，我们基本上可以断定，考虑风险后，各个组合的收益序列仍然接受随机游走假说，不具有可预测性。
可预测性的考察在经济学上具有极其重要的意义。可预测性除了具有“战胜市场”的含义外，还有更复杂的含义。股票收益率的可预测性不可避免地与“市场有效性”这个概念相联系。人们对于可预测性和市场有效性之间关系的认识是随着经济科学的发展而不断深入的。由于人们对于风险中性在决定股票价格的鞅行为方面的关键作用不是太清楚，所以在20世纪70年代早期之前，可预测性就变成了市场无效的同义词。然而到了70年代晚期以后，人们开始认识到，在风险厌恶的世界里，理性的、随时间变化的风险溢价可以导致收益率的可预测性，因此不能认为可预测性直接与市场无效同义。目前学术界的共识是：所有有关随机游走假说的讨论，无论是在理论上还是在实证上，都至多是在近似意义下被看做弱有效市场的特征，即不是充分条件，也不是必要条件（史树中，2004）。从理论上来讲，弱有效假说的检验应该是一个关于市场本身有效和定价模型的联合检验，在我们的注意力转到证券收益序列的可预测性之后，弱有效性假说的检验就避免了这个联合检验，但遗憾的是又遇到一个新的联合检验，即：一方面是证券收益序列的可预测性检验，另一方面是收益的可预测性反映了期望收益偏离基本价值的理性变化还是非理性变化，或者两者都有（杨朝军等，2004）。因此本文的研究可以看做是市场有效性检验的一个子集。
但是在我国学术界的实证研究方面，直到张兵、李晓明（2003）才将随机游走假说和弱有效市场假说分开，之前的实证研究都将二者对等，但是张兵、李晓明（2003）认为满足随机游走假说只能看做是市场弱式有效的充分条件也是不对的，这点我国学术界必须注意。
我们知道，有效市场理论是金融经济学研究中的核心理论，是现代金融投资理论（如CAPM、APT等）的基础。因此，作者认为应将有效市场理论作为规模效应能否被看做异象的范式。只要“规模效应”不违背市场有效性假说，那就不应该被看做异象。根据本文的结论，各个依规模组合的月收益序列不具有可预测性，在另一个联合检验没有被拒绝的情况下，我们就不能拒绝市场弱式有效的假说，从而规模效应并没有违背市场有效性假说，不应被看做异象。
必须强调的是，尽管我们比国内其他的研究使用了较长的时间序列（108个月的月收益率数据），采取了较广的样本（全样本），我们的结论仍然可能是这段时期特有的表现，因此我们不能断定我们得出的结论在其他时期在其他市场无条件成立。
