2020年8月16日。
下午一点了，睡一会儿开始学习。
……
两三点开始。
【例1】①∫1/(x2-x-2)dx；②∫1/(x2+2x+2)dx.
解：①原式=∫1/[(x+1)(x-2)]
=1/3∫1/(x-2)-1/(x+1)dx
=1/31/(x-2)d(x-2)-1/3∫1/(x+1)d(x+1)
=1/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+C
=1/3ln|(x-2)/(x+1)|+C
②原式=∫1/[1+(x+1)2]d(x+1)
=arctan(x+1)+C
【例2】∫x/(x2+3)dx.
解：原式=1/2∫1/(x2+3)d(x2+3)
=1/2ln(x2+3)+C
【例3】∫sinx^?/x^?dx
解：∵(x^?)'=1/(2x^?)
∴原式=2∫sinx^?/(2x^?)dx
=2∫sinx^?dx^?
=-2cosx^?+C
【完善一部分公式】【公式积累】
【不定积分公式】
【已知的】：
1.【常数不定积分】∫kdx=kx+C；
2.【幂函数不定积分】
①a≠-1时，∫x^adx=[1/(a+1)]a^(a+1)+C；
②a=-1时，∫1/xdx=ln|x|+C
3.【指数函数不定积分】
①∫a^xdx=a^x/lna+C
②a=e时，∫e^xdx=e^x+C
4.【对数函数】……对数没有
5.【三角函数不定积分】【部分】
①∫sinxdx=-cosx+C
②∫cosxdx=sinx+C
③∫tanxdx=-ln|cosx|+C
④∫cotxdx=ln|sinx|+C
⑤∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscx-cotx|+C
⑥∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
⑦∫sec2xdx=tanx+C
⑧∫csc2xdx=-cotx+C
⑨∫secxtanxdx=secx+C
⑩∫cscxcotxdx=-cscx+C
【例4】∫cscxdx.
解：原式=∫[1/sinx]dx
=∫[1/2sin(x/2)cos(x/2)]dx
=∫[1/tan(x/2)cos2(x/2)]d(x/2)
=∫[sec2(x/2)/tan(x/2)]d(x/2)
令t=x/2，
=∫[sec2t/tant]dt
=∫[1/tant]d(tant)
=ln|tant|+C
=ln|tan(x/2)|+C
∵tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)
=2sin2(x/2)/2sin(x/2)cos(x/2)
=(1-cosx)/sinx
=cscx-cotx
∴∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscx-cotx|+C
【例5】∫secxdx.
解：原式=∫1/cosxdx
=∫1/sin(x+π/2)d(x+π/2)
=∫csc(x+π/2)d(x+π/2)
=ln|csc(x+π/2)-cot(x+π/2)|+C
=ln|secx+tanx|+C
现在三角函数解决。然后来适当解决部分接下来的基本初等函数的不定积分。
5.平方和、平方差公式
①∫1/(1-x2)^?dx=arcsinx+C
②∫1/(a2-x2)^?dx=arcsin(x/a)+C，（a＞0）
③∫1/(1+x2)dx=arctanx+C
④∫1/(a2+x2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C
……
⑤∫1/(x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
⑥⑦⑧？
……
现在来看真正的例题。
【例6】∫(1-1/x2)e^(x+1/x)dx.
解：原式=∫e^(x+1/x)d(x+1/x)
=e^(x+1/x)+C.
【例7】∫{1/[x^?（4+x）]}dx
本子
【例8】①②本
【例9】本
【所以换元积分法的思想就是找一部分放到d后面，就是找到一部分的原函数，然后前后都有这一部分，然后就可以换元进行再找原函数，再把元换回来。当然熟练的话就可以不换元直接看出来。】
下面看第二类换元积分法。
……
害天气好闷热。有点受不了。
没看视频了，在整理数学文档。教材、辅导讲义、习题、解析、真题。今天不想看了，4.2.2、4.3、4.4三个视频给明天吧，然后明天结束第四章，然后第五章开个头。
……
马达我还是忍不住开了云盘的svip，开会员后下的是真的正常了好多。原来它能做到啊。艹。
……
晚餐藕片、白菜、西红柿炒鸡蛋、冬瓜。
……
2020年8月17日。有雨。
午餐是黄鱼汤、白菜、土豆五花肉。
……
主要想下文档和视频。然后下午晴空霹雳，雷鸣不止。然后也有雨了。我到前面的房间坐着，看窗外门前的树??随风摇曳。
雨点打在窗上，像是冰雹突突突。
快捷方式很好用，我并不想改变文件位置，但又要最近经常访问，创建文件或文件夹的快捷方式然后将其放到该盘根目录，对于我来说就相当方便了。其效果如同应用的桌面快捷方式。但桌面放东西太多影响系统性能，对于我来说是不能容忍的。
我这种玩英雄联盟都要使用低画质、低配机器自适应还每次在任务管理器里更改进程优先级的谨小慎微选手，桌面当然只有一个孤零零的回收站。左下角是win、搜索、文件管理、微软Edge，右边是^的电池、wlan、输入法中英标识、输入法、日期。嗯，相当舒服。桌面自然是纯色——黑。耗能低、不刺眼，优化性能。
昨天休息日稍微减轻了今天的负担，所以到下午两点我也没着急开始看视频。昨晚稍微看了一眼660题，果真把我这个0基础都没看完的家伙整碎了。所以我决定看完0基础进行基础班的时候再做题。现在简直做题就感觉自己是个傻逼。看视频的时候知识点都懂，一做题秒变大鼻子露珠，服气气。
用焦少的话来说，就是“我服你妈妈个气”。又被群内霸凌了，淦！马涛真是会整人得很，连带着马负乘也变成了带阴阳人。
换元积分法（二），第二类换元积分法。
【回顾】第一类换元积分法，∫f[φ(x)]φ'(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)令φ(x)=t，
=∫f(t)dt=F(t)+C=F[φ(x)]+C
应用十分广泛。
【第二类换元积分法】
第一类有两种情形可能解决不了。case1，无理函数。就是被积里面有根号。接下来通过例题来直观感受。
【例1】∫dx/[x(1-x)]^?
这个第一类也能解决
解：本子上写。
【例2】∫{x2/[x3+1]^?}dx本
【例3】本
【例4】第一类解决不了。解决不了。
Th2，x=ψ(t)可导且ψ(t)≠0.
∫f(x)dx
=∫f[ψ(t)]ψ'(t)dt
=∫g(t)dt=G(t)+C
=G[ψ?1(x)]+C
【例5】本。开六次方。上写同除t2，恒等变换。立方和公式。
【立方和公式】
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
【立方差公式】
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Case2：【不定积分平方和差】【不定积分平方和】【不定积分平方差】
①(a2-x2)^?，用x=asint，原式=acost，
②(a2+x2)^?，用x=atant，原式=asect，
③(x2-a2)^?，用x=asec2t，原式=atant，
【例1】∫dx/(a2+x2)^?，【公式】
∴∫dx/(a2+x2)^?=ln[x+(a2+x2)^?]+C
【例2】∫dx/(x2-a2)^?，【公式】
∴∫dx/(x2-a2)^?=ln|x+(x2-a2)^?|+C
【例3】∫dx/(a2-x2)^?，【公式】
∴∫dx/(a2-x2)^?=(a2/2)arcsin(x/a)+(1/2)x(a2-x2)^?+C
停一下，总结公式。
【索引标识符】【不定积分基本公式-全】
1.【常数不定积分】∫kdx=kx+C；
2.【幂函数不定积分】
①a≠-1时，∫x^adx=[1/(a+1)]a^(a+1)+C；
②a=-1时，∫1/xdx=ln|x|+C
3.【指数函数不定积分】
①∫a^xdx=a^x/lna+C
②a=e时，∫e^xdx=e^x+C
4.【对数函数】【无】
5.【三角函数不定积分】
①∫sinxdx=-cosx+C
②∫cosxdx=sinx+C
③∫tanxdx=-ln|cosx|+C
④∫cotxdx=ln|sinx|+C
⑤∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
⑥∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C=ln|cscx-cotx|+C
⑦∫sec2xdx=tanx+C
⑧∫csc2xdx=-cotx+C
⑨∫secxtanxdx=secx+C
⑩∫cscxcotxdx=-cscx+C
6.平方和差
①∫1/(1-x2)^?dx=arcsinx+C
②∫1/(a2-x2)^?dx=arcsin(x/a)+C，（a＞0）
③∫1/(1+x2)dx=arctanx+C
④∫1/(a2+x2)dx=(1/a)arctan(x/a)+C
⑤∫1/(x2-a2)dx=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
⑥∫dx/(a2+x2)^?=ln[x+(a2+x2)^?]+C
⑦∫dx/(x2-a2)^?=ln|x+(x2-a2)^?|+C
⑧∫dx/(a2-x2)^?=(a2/2)arcsin(x/a)+(1/2)x(a2-x2)^?+C
【例4】……
先不着急，我感觉这些玩意儿公式我得好好记一下，每一个我都跟着推导一起看了，但是想要记住还需要一些时间。
积分公式的话，也有个逻辑顺序。
首先是常数及基本初等函数。
常数毫无疑问就是一次导得到的。
然后幂函数，分情况，有个特殊的ln绝对值。
然后是指数函数，因为求导会多lna所以除掉就行了，也有特殊，那就是e^x就是本身了。
对数函数没有，略。
三角函数，六个。加上四个由三角函数导数知道的。
然后反三角？并不是，而是平方和差公式，结果是arcsinx和arctanx及其衍生共四个，然后就是由其可以求出的第五个，然后剩下三个用第二类换元积分法得到的，共八个。
