7.源于博弈的概率论
假如甲、乙两人赌技相同，各出赌注100元。约定：谁先胜三局，则谁就拿走全部200元。现已赌了三局，甲二胜一负而因故要中止赌博，问这200元要如何分，才算分平？这是一个典型的博弈问题，每局赌博的胜负都要凭机会，也就是我们所说的概率。这类机会游戏的解决需要用到概率论的知识。
概率论的起源正是来自于赌博与靠运气取胜的游戏，大约在17世纪，欧洲的数学家们就开始探索用古典概率来解决赌博中提出的一些问题。目前，概率论已成为研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象中的规律性的一门重要的数学分支。在一定的条件下，人们能准确地预言将发生什么。
正如上面所讲的那样，目前，概率论的理论与方法已经卓有成效地广泛应用于各个科学技术领域中。在实际应用中，有着广泛的重要意义。概率论的目的就是为了帮助人们透过表面的偶然性找出内在的必然规律，并以概率的形式来描述这些规律。
目前，概率论的主要研究内容大致可分为极限理论、独立增量过程、马尔可夫过程、点过程、随机微分方程、随机分析等，它还是数理统计学的基础。概率论的应用几乎涉及生活中的所有领域，如气象预报、天文观测、通讯工程、计算机科学、管理科学、生物医学、运筹决策、经济分析、金融理论、人口理论、可靠性与质量控制等许许多多领域都已离不开用概率论的理论和方法来建立各种数学模型。
8.神奇的代数
世界是连续的，还是离散的？一根铜棒，一束光线，看起来都是连续不断的。但古希腊的德谟克利特就认为，万物都是离散的，由极小的原子组成，甚至包括灵魂。现在我们确实已知道，“月魂日魄”的光是由一个个的“光子”组成的，就连时间和空间似乎也是量子化的。代数（学）就是专门研究离散对象的数学，它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）。代数从19世纪以来有惊人的发展，带动了整个数学的现代化。随着信息时代的到来，计算机、信息都是数字化（离散化）的，甚至电视机、摄像机、照相机都在数字化。知识经济有人也称为数字经济。这一切的背后的科学基础，就是数学，尤其是专门研究离散对象的代数。现在的代数已经是外延极广的综合科学，不是指中学的代数，那只是代数的萌芽。代数发端于“用符号代替数”，后来发展到以符号代替各种事物，乃至于概念、作用、映射。代数的基础研究各种代数系统，即定义了运算的抽象集合。主要的代数系统有：群、环、域、模、格、各种空间等。
“群”是最基本的系统，就是有一个运算的集合。
而“环”就是有一又半个运算的集合（所谓半个运算是指它可能无逆运算）。
代数以如下成果光照历史：解决了困扰人类2000多年的古希腊三大历史名题（三等分角、化圆为方、立方倍积），解决了五次方程不可解问题，画正17边形，破译密码等问题。此外，代数还研究更抽象的“范畴”函子等。与代数相关的数学有：线性代数、抽象代数、代数数论、代数几何、代数拓扑、同调代数、拓扑代数、表示论、泛函分析、代数函数论等等。在我们人类的生活中，神奇的代数发挥着神奇的作用。
9.图形漂亮的分形
分形数学是用来研究不规则集的数学，这里的不规则是相对于经典的几何图形的微积分而言的，其研究的对象——不规则集就是分形。
下面我们画一个图形，其步骤是简单的。给定一直线段，将中间的1／3部分用其上的等边三角形的另外两条边来替代，而得到一条由四条线段组成的折线，对此折线上的每条线段作上述同样的替换，如此无穷下去，就生成一个称为冯·科赫曲线的图形。
冯·科赫曲线处处不具有切线，因为曲线的尖点处没有切线；取出曲线的任一部分将其按倍数放大，将得到整个曲线。即具有自相似性；按作图过程来计算曲线的长度，会发现曲线具有无穷长度，这不符合常规。
分形这个新词是曼德尔布罗特引入的，意思是细片、破碎及分数等。到目前分形还没有一个确切的数学定义，曼德尔布罗特曾给出过几个定义，但都不够精确、全面。现在人们更接受英国数学家法尔科内的观点，像生物学家用生命的特征，如新陈代谢、繁殖能力等来定义生命那样，用分形的特性定义分形如下：它具有精细结构；整体和局部不规则，而又不能用传统的几何语言来描述；具有某种可能是近似的或统计的自相似形式；在某种方式下定义的“分形维数”通常大于其拓扑维数，可以用非常简单的方法来确定，迭代或递归就可能产生。
分形的维数是分形数学的主要研究内容之一，它能在某种程度上定量刻画分形的复杂性、充满空间程度以及包含了分形的几何性质的许多信息。
分形理论已经应用于自然科学的许多领域，如自然图形的模拟、力学中的断裂与破坏、计算机编码压缩等不胜枚举。分形这个过去被认为“病态”甚至认为在研究上可以忽略的不光滑、不规则的图形，事实上在自然界中随处可见，如海岸线、±也表面形状、人体毛血管的分布等等。但自然界中的分形与数学中的分形是有区别的，就象在自然界中没有真正的直线那样。
分形的计算机图形很漂亮，即使不懂数学知识也不影响对它的欣赏。
10.费根鲍姆常数
费根鲍姆在数学研究过程中发现，与分岔相对应的参数值之间具有一种几何收敛的规律，参数值间距存在一种比率，随着分岔的增加此比率趋向于一常数8即为费根鲍姆第一常数。它反映的是各分岔点之间距离按特定的比例缩小着，这个缩小比例趋向的极限是8。
费根鲍姆还发现了倍周期分岔过程中的另一个常数仪：仪为费根鲍姆第二常数，它意味着在倍周期分岔的过程中，其几何图像具有无穷自嵌的几何结构，同一种行为在越来越小的尺度上重复出现。与分岔有关的几何特征，在每次分岔后按比例缩小，这个缩小比例趋向的极限就是仅。
费根鲍姆常数8和仅与人们早已熟悉的e和盯一样，都是自然界的普适常数。它们与具体的迭代形式无关，一切可以经过倍周期分岔而走向混沌的函数，不论是正弦函数还是抛物线函数，均可导出。这表示着一种更为深刻的东西一一种统一的规律在起作用。
11.解释飞跃的突变理论
在自然现象和社会现象中，有许多突变和飞跃的过程，飞跃造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的。例如，水突然沸腾，冰突然溶化，火山爆发，某地突然地震，病人突然死亡等。这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，用微积分就不能描述。为了描述各种飞跃和不连续过程，数学上建立了一种关于突变现象的一般性数学理论。1972年法国数学家雷内·托姆在《结构的稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
突变理论以拓扑学为工具，结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则。这就是说：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是不稳定的，那么它就是一个突变、飞跃过程；如果中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。例如拆一堵墙，如果从上面开始＿块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声倒塌下来，这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。突变理论用势函数的洼的存在表示稳定，势函数的洼取消表示不稳定。
托姆的突变理论，用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，以及系统处于不稳定态时的参数区域。参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会出现突变。
突变理论把社会现象归结为某种量的突变问题，说明了人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦带根本性的质变发生，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。
用突变理论可以研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，研究突变的方向与幅度，设法对社会进行高层次的有效控制。
12.天才的不可判定性定理
1931年，哥德尔出版了他的书《数学原理及有关系统中的形式不可判定命题》，其中包含了他的所谓不可判定性定理。
哥德尔证明了要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到的事情。他的思想可以浓缩为两个命题：
第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
本质上，哥德尔的第一个定理说，不管使用哪一套公理，总有数学家不能回答的问题存在——完全性是不可能达到的。更糟的是，第二个定理说，数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾出现——相容性永远不可能证明。
虽然哥德尔的第二个定理说，不可能证明公理系统是相容的，但这并不一定意味着它们是不相容的。在许多数学家的心目中，他们仍然相信他们的数学依旧是相容的，只是用他们的思想无法证明这一点而已。许多数学家相信哥德尔的不可判定命题只有在数学的最不引人注目和最极端之处才可能发现，因而可能永远也不会碰到。可是到了1963年，哥德尔的理论上的恶梦竟然变成了有血有肉的事实。
斯坦福大学的一位29岁的数学家保罗·科恩发展了一种可以检验给定的命题是不是不可判定的方法。这个方法只适用于少数非常特殊的情形。完成他的发现之后，科恩立即飞到普林斯顿，带着他的证明，希望由哥德尔本人来证实他的证明。
科恩证明了大卫·希尔伯特提出的数学中最重要的23个问题之一——连续统假设是不可判定的，这有点令人啼笑皆非。
哥德尔的工作，再加上科恩给出的不可判定的命题，给所有正在坚持尝试证明建立确定性数学大厦的工作带来毁灭性的打击。
13.历史悠久的费尔马大定理
费尔马大定理，起源于两千多年前，挑战人类3个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。
古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。1637年，法国业余大数学家费尔马在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a＋b=c是不可能的。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n=3、4、5、7四种情形。历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了：费尔马大定理包含在“谷山丰一志村五郎猜想”之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。最后终于在1993年6月23日英国剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。
这个证明体系是千万个深奥数学推理连接着成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千回百转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：答案原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。10月6日他把证明完稿送给爱妻娜妲作生日礼物。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。他先后获得沃尔夫奖，美国国家科学院奖，费尔兹特别奖。他的证明用的是代数数论与算术代数几何理论，主要用到椭圆曲线等。“这个证明堪与发现原子分裂或DNA链相媲美，是人类智慧的凯歌”——怀尔斯的老师寇茨如此评论。
