2020年8月21日，周五。
群里聊去学校的事。
今天起来太晚梦已经忘了。就一普通的梦。今天还在下雨。
午餐是豆芽、青椒豆干、白菜、鲫鱼汤。
昨天玩游戏玩的挺多把，超出普通线。马负乘买的30的票。马飞三手准备29、30、05是真滴牛批。马涛票应该是29，我也是29。我不太担心进学校的问题。
【考研倒计时】
距离21考研121天
每日一句：
这世界的大多数事情，不是稍微努力就可以搞定的，这个世界的真相是：我们特别努力才可以做得有一点儿好，但是我们一不小心就能做得特别差。
……
一、空间曲面
曲面Σ的方程：F(x，y，z)=0.
二、曲面的特殊情形——平面
㈠平面的点法式方程
M?（x?，y?，z?）∈平面π，n→={A，B，C}⊥π，则π的点法式方程：
π：A(x-x?)+B(y-y?)+C(z-z?)=0.
【例1】
㈡截距式方程
x/a+y/b+z/c=1.
㈢一般式方程
Ax+By+Cz+D=0.
三、两平面的夹角（0≤θ≤π/2）
cosθ=|(n?→·n?→)/(|n?→|·|n?→|)|
【例3】
8.4 向量应用（二）——空间直线
一、点向式方程（对称式方程）
M?（x?，y?，z?）∈L，s→=（m，n，p）∥L，点向式：
L：(x-x?)/m=(y-y?)/n=(z-z?)/p.
【例1】
二、参数式方程
M?（x?，y?，z?）∈L，s→=（m，n，p）∥L，参数式：
L：{x=x?+mt，y=y?+nt，z=z?+pt}.
点向式与参数式可以相互转化。
三、空间直线方程的一般式（两不平行平面相交形成一条直线）
L：{A?x+B?y+C?z+D?=0，A?x+B?y+C?z+D?=0}
第一步找一个直线上点，第二步找方向向量（两平面法向量叉乘），第三步表示。
四、杂知识点
㈠夹角
1，两向量的夹角（0≤θ≤π）cosθ
2，两平面夹角（0≤θ≤π/2）cosθ
3，两直线的夹角（0≤θ≤π/2）cosθ
【例3】
4，直线与平面的夹角
sinφ=|cos(n→，s→夹角)|
㈡距离
1，两点之距
2，点到平面的距离
【注】Prj(a→)b→=(a→·b→)/|a→|.
……
又想睡觉了。14：11。毕竟在下雨，适合睡觉。
……
14：56。
d=|Prj(n→)M?→M?|=|Ax?+By?+Cz?+D=0|/(A2+B2+C2)^?
【例4】
其他距离另外课程再讲。
㈢平面束
经过L的所有平面称平面束
L：{A?x+B?y+C?z+D?=0，A?x+B?y+C?z+D?=0}
平面束π：A?x+B?y+C?z+D?+λ(A?x+B?y+C?z+D?)=0
即：把xyz的系数各自放一起，常数放一起，总共为0。
【例5】
8.5 空间曲面及方程
一、柱面
1，Σ：F（x，y）=0为母线平行于z轴的柱面。2，……x轴……。3，…y轴…。
二、旋转曲面
L：{f(x，y)=0，z=0}
L绕x轴形成的旋转曲面Σx：f(x，±(y2+z2)^?)【绕谁谁不变】，如旋转曲面Σy：f(±(x2+z2)^?，y)
8.6 空间曲线及其方程
一、空间曲线的形式
㈠一般形式
L：{F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0}
㈡参数式
L：{x=φ(t)，y=ψ(t)，z=u(t)}
二、曲线的特殊情形——直线
点向式、参数式、一般式
三、投影曲线
消z，柱面。
下面是第九章，多元微分学及应用
9.1 多元函数的基本概念
一、平面点集
1.去心邻域
Uo(M?，δ)
2.邻域U(M?，δ)
3.开集、连通（在D里面总能找到路径相连）、单连通、多连通
4.区域（开区域）（连通开集）
5.闭区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
二元函数极限的定义
【例1】【例2】【例3】【……夹逼定理……】
四、多元函数连续性与性质
连续：极限等于函数值。
多元函数在有界闭区域上的性质
Th1（最值定理）有界闭区域连续，则取到m、M。
Th2（有界定理）
Th3（介值定理）
第二节9.2 偏导数
……
玩游戏。
……
近期有三件事，最近的是明早的报告直播课程、然后是24日的选课、然后是必修课要交报告。
剩菜加鱼干加洋葱炒鸡蛋。我爸回家。
……
第二节9.2 偏导数
x、y的偏增量Δ?x、Δ?y。全增量Δ?。……关于x可偏导。极限值……偏导数，记fx'(x，y)、?z/?x|(x?，y?)。同样的对y……fy'(x，y)、?z/?y|(x?，y?)。……偏导函数。
【例1】【例2】【例3】
二、高阶偏导数
高阶混合偏导数
【例5】
Th，二阶混合偏导数皆连续，则它们相等。fx'y'=fy'x'。
9.3 全微分
一、二元函数全微分定义
全增量。……可全微。AΔx+BΔy全微分。d?|(x?，y?)=AΔx+BΔy，习惯写成Adx+Bdy。
二、结论
Th1，可微→连续。
Th2，在一点可微，→可偏导。
【注解】在一点连续不一定可微。可偏导不一定可微。
【例1】【例2】
Th3，【可微充分条件】若两个偏导数连续（或连续可偏导），则f(x，y)可微。
连续可偏导→可微→连续
连续可偏导→可微→可偏导
dz=(?z/?x)dx+(?z/?y)dy
【例3】
9.4 多元复合函数求导法则
情形一：
Th1，dz/dt=?f/?u×du/dt+?f/?v×dv/dt.
【例1】
Th2，连续可偏导……
?z/?x=?f/?u·?u/?x+?f/?v·?v/?x.
?z/?y=?f/?u·?u/?y+?f/?v·?v/?y.
【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】【例8】
9.5 隐函数的求导法则
一、一个约束条件的情形
Th1，F(x，y)在M?邻域内连续可偏导，且F(x?，y?)=0，Fy'(x?，y?)≠0，则由F(x，y)=0在M?邻域内唯一确定一个连续可导函数y=f(x)，使y?=f(x?).
dy/dx=-Fx'/Fy'.
……
F(x，y)=0，确定了一个一元函数。
【例1】
Th2，F(x，y，z)在M?(x?，y?，z?)邻域内连续可偏导，F(x?，y?，z?)=0，Fz'(x?，y?，z?)≠0，则……确定唯一连续可偏导
z=φ(x，y)，且z=φ(x?，y?)，有
?z/?x=-Fx'/Fz'，?z/?y=-Fy'/Fz'.
……
【解释】……
【例2】
二、两个约束条件的情形
Th3，……≠0，则……，……
【注解】①行列式对调两行（或两列）变为相反数。
②……克莱姆法则
③行列式一行（或一列）有公因子可提取。
【例3】【例4】
……
总觉得下雨让我脑阔疼，其实是高数让我脑阔疼。歇了，明天再看下一节多元函数在微分学的几何应用。
