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第42章 悬而未决的费马数

伟大的科学家同样也会犯错误,科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其中一个,而且他所犯的错误又恰恰是在他最擅长的数论之中。

1640年,费马发现:设Fn=22n+1,则当n=0,1,2,3,4时,Fn分别给出3,5,17,257,65537,都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大(F5=4294967297)他没有再进行验证就直接猜测:对于一切自然数n,Fn都是素数。不幸的是,他猜错了。1732年欧拉发现:F5=225+1=4294967297=614×6700417,偏偏是一个合数!1880年,又有人发现F6=226+1=27477×67280421310721,也是合数。

不仅如此,以后陆续发现F7,F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数!虽然Fn的值随着n值的增加,以极快的速度变大(例如1980年求出F8=1238926361552897×一个62位数),目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个,但人们惊奇地发现:除费马当年给出的5个外,至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测:是否只有有限个费马数?是否除费马给出的5个素数外,再也没有了?可惜的是,这个问题至今还悬而未决,成了数学中的一个谜。

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