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第37章 无理数的风波

无理数就是不能表示为整数或两整数之比的实数,如2、π等等。这些数不像自然数或负数那样,可在实际生活中直接碰到,它是在数学计算中间接发现的。

人们发现的第一个无理数是2。据说,它的发现还曾掀起一场巨大的风波。古希腊毕达哥拉斯学派是一个研究数学、科学、哲学的团体,他们认为一切数都是整数或者整数之比。有一个名叫希帕索斯的学生,在研究1和2的比例中项时(如果1:x=x:2那么x为1和2的比例中项),左思右想都想不出这个中项值。后来,他画一边长为1的正方形,设对角线为x,于是x2=12+12=2。他想,x代表正方形对角线长,而x2=2。他想,那么x必定不能是整数,那么x会不会是分数呢?毕达哥拉斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个数。

这样,如果x既不是整数又不是分数,它是什么样的数呢?希帕索斯等人认为这必定是一个新数。这一发现,使得毕达哥拉斯等学派的观点动摇了,从而导致了西方数学史上的第一次“数学危机”。而希帕索斯本人因违背了毕达哥拉斯学派的观点而受到处罚,被扔到大海里淹死了。

无理数的发现,使数的概念又扩大了一步。

真实的虚数

“虚数”这个名词,听起来好像“虚”,实际上却非常“实”。

虚数是在解方程时产生的。求解方程时,常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数,可以算出要求的根;如果是负数怎么办呢?

譬如,方程x2+1=0,x2=-1,x=±-1。那么,-1有没有意义呢?在很久之前,大多数数学家认为负数没有平方恨。到了16世纪中叶,意大利数学家卡尔丹发表了《大法》这一数学着作,介绍了三次方程的求根公式。他不仅讨论了正根和负根,还讨论了虚数根。如解x2-15x+4=0这一方程时,依据他的求根公式,会得到:

x=3-2+-121+3-2-121

其中-121就是负数的平方根。卡尔丹写出了负数的平方根,但他认为这也仅仅是形式表示而已。说明他对负数平方根的性质并不了解。1637年,法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年,瑞士数学家开始用符号i=-1表示虚数结合起来,写成a+bi形式(a、b)为实数,称为复数。

由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知。在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量,因此,在很长一段时间里,人们对虚数产生过种种怀疑和误解;笛卡尔称“虚数”的本意是指它是虚假的;莱布尼兹在公元18世纪初则认为:“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管是许多地方用了虚数,但又说一切形如-1、-2的数学式都是不可能有的,纯属虚幻的。

欧拉之后,挪威一个测量学家维塞尔,提出把复数a+bi用平面上的点(a、b)来表示。后来,高斯提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路。现在,复数一般用来表示向量(有方向的数量),这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容,真是:虚数不虚!

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