纳什均衡：如何赚得最多，如何亏得最少
你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。
美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”
那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？
这基本是废话，当然该。
问题是：这个游戏公平吗？
我们来分析一下，按照游戏规则，你和美女每局可能出现的收益情况如下表所示：
nm 美女出正面 美女出反面
你出正面 +3，-3 -2，+2
你出反面 -2，+2 +1，-1
假设你出正面的概率是x，反面的概率是1-x；美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由此列出方程就是：3x+（-2）×（1-x）=（-2）×x+1×（1-x）
解方程得x=3/8。
同样，美女的收益，列方程
-3y+2（1-y）=2y+（-1）×（1-y）
解方程得y也等于3/8，而美女每次的期望收益则是2（1-y）-3y=1/8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。
其实只要美女采取了（3/8，5/8）这个方案，即按照3/8的概率出正面、5/8的概率出反面，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3+3+3-2-2-2-2-2）/8=-1/8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（-2-2-2+1+1+1+1+1）/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。
但是当你也采用最佳策略（3/8，5/8）时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔得更多。
事实上，每一种游戏依具其规则的不同都会存在纳什均衡，使每人都赚得最多或亏得最少。
纳什均衡的创立者是约翰·纳什。他在经济学圈外，是因为那部获奥斯卡奖的影片《美丽心灵》才被大家了解的。这个被精神分裂症困扰了30多年的天才曾被很多学术奖项和机构排斥在门外，他的诺贝尔奖得来的更是艰难。他在20世纪80年代中期就出现在候选人的名单当中，却因为两派意见相差太大而被搁置了近10年。1994年，他终于在投票中以微弱优势通过，获得当年的诺贝尔经济学奖。
纳什的研究奠定了现代非合作博弈论的基石，后来的博弈论研究基本上都是沿着这条主线展开的。
然而，纳什的发现却遭到冯·诺依曼的断然否定，在此之前他还受到爱因斯坦的冷遇。
但是，骨子里挑战权威的本性，使纳什坚持了自己的观点，终成一代大师。他对非合作博弈的最重要贡献是阐明了包含任意人数局中人和任意偏好的一种通用解概念，也就是不限于两人零和博弈，该解概念就是纳什均衡。
在经济生活中，纳什均衡其实就在人们身边。每逢周末和节假日是超市人最多的时候，假如你怀抱着一堆东西站在收银台旁边一队长长的队伍的最后边，你是准备抱着这堆东西找个最短的队来排，还是就近找个队排？
在这里，假设超市里的每个人都有一个理性的预期——尽快地离开超市。因此所有的队都会一样长，你用不着费劲地去找最短的那个队伍。
购物者只要看到旁边的队人少，就会很快排进较短的队中，如此一来较短的队也变长了，一直持续到两个队人数差不多。相邻的两个队是这样，同理，所有的队都会变得人数差不多。所以，还是就近选择最好。
由此可见，均衡是指一种均势的状态，是各方参与者在理性预期的指导下综合博弈的结果。假如我们理解了其中的奥妙，生活就不会平添许多无谓的烦恼。
